En la lectura http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=182143561104878BDABB72258DA254D0?doi=10.1.1.18.2521&rep=rep1&type=pdf también mencionaron una interesante relación, tenían un magma $(X,*)$ con la propiedad $x*(y*z) = y*(x*z)$.
Su ejemplo concreto fue comenzar con un conjunto $S$ , y construir su estructura en su poder establecer $X=P(S)$; luego tomar el espacio vectorial $\mathbb{R}^{P(S)}$. Su funcionamiento actuado sobre vectores en este espacio: para dos vectores $x$$y$ , el elemento de su producto indexado por $I \subseteq S$ está dado por $(x*y)(I) = \sum_{K \subseteq S} x(K)y(I\cup K)$.
Creo que esta es una interesante relación, porque es tan "cerca" de varias otras buenas propiedades. En caso de que tuviera derecho a la identidad, a continuación,$x*y = x*(y*e) = y*(x*e) = y*x$, por lo que la estructura es conmutativa. Si había conmutatividad, a continuación,$ x*(y*z) = x*(z*y) = z*(x*y) = (x*y)*z $, de manera que tendría la asociatividad. Por lo tanto sólo un derecho de identidad es suficiente para deducir que eres un completo conmutativa monoid. Hay una débil inversa, que la asociatividad implica $(x*y)*z = (y*x)*z$, que es como una versión débil de la conmutatividad: $x*y\simeq y*x$ en el sentido de que son equivalentes en virtud de los mapas de $(- * z)$ todos los $z$. Quiero saber lo que estas estructuras parecen cuando usted no tiene derecho de identidad.
Su ejemplo se tiene a la izquierda de la identidad, el vector voy a llamar a $1_0$, $1_0(\emptyset)=1$ y todos los demás elementos del vector igual a cero. Si restringimos nuestra estructura para sólo los vectores $v$ tal que $v(\emptyset)\neq 0$, entonces estamos todavía cerrado bajo $*$, y obtener una noción de la inversa: para cualquier vector $v$, podemos definir el vector $v^{-1}$ $v^{-1}(\emptyset) = \frac{1}{v(\emptyset)}$ $v^{-1}(K)=0$ para todos los otros $K$. A continuación,$v*v^{-1} = 1_0$, lo que en este sentido tenemos una inversa a la izquierda de la identidad. De modo que podemos tener una izquierda identidad e inversa, sin derecho inversa/asociatividad/propiedades de conmutatividad.
Yo sólo podía pensar de los otros tres ejemplos de este tipo de estructura.
Uno es tomar cualquier conmutativa semigroup. No tiene una identidad necesariamente, pero todavía tiene la conmutatividad y la asociatividad.
El segundo se basa en la lógica Booleana: en un conjunto de axiomas y con un conjunto de declaraciones de $X$, podemos determinar $*$ como la implicación $\to$ en el sentido de "$X\to Y$ $Y$ puede ser probada de $X$ en este sistema". A continuación, $x\to(y\to z)$ es equivalente a la declaración de $y\to(x\to z)$, por lo que "la igualdad" en esta estructura. Esto todavía tiene a la izquierda de la identidad dada por CIERTO, como $TRUE\to X$ es equivalente a $X$.
La tercera es tomar un semilattice $(X,\wedge,\le)$, junto con una negación mapa de $\neg$ tal que $x\le y \implies \neg y\le \neg x$. Entonces usted puede conseguir el tipo de estructura que se ha descrito anteriormente mediante la toma de $x*y = \neg x \wedge y$: sabemos que $x*(y*z)$ es el mayor límite inferior de $\neg x$, $\neg y$, y $z$. Como un ejemplo concreto, podemos tomar $X = \mathbb{Z}\setminus \{0\}$$\wedge$$\max$: entonces no tenemos ninguna absorción de elementos o identidades. Sospecho que esto podría estar relacionado con el segundo ejemplo de arriba, a través de álgebras de Heyting de alguna manera.
Hay nombres para este tipo de estructuras? ¿Existe alguna clasificación de teoremas para ellos? Parece tan "cerca" de esas hermosas estructuras, realmente siento que debe haber algún tipo de resultados! :) Gracias por cualquier información!
