Interpretación geométrica de Hölder la desigualdad

Question

Hay una intuición geométrica para Hölder la desigualdad?

Me estoy refiriendo a $||fg||_1 \le ||f||_p ||f||_q $, cuando se $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Para $p=q=2$ esto es sólo la de Cauchy-Schwarz desigualdad, por lo que me han geométricas intution: La proyección de un vector a lo largo de una dirección acorta su longitud.

Mi pregunta es si hay una similar interpretación geométrica de Hölder la desigualdad. Soy consciente de la escala argumento, que muestra la desigualdad sólo puede contener al $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$; pero ¿por qué deberíamos esperar que esto es cierto cuando el $p,q$ son conjugados? Tal vez hay algunos interpretación física?

Tenga en cuenta que estoy en busca de la intuición, no es necesariamente una prueba formal. Hölder la desigualdad puede ser demostrado mediante Joven de la desigualdad, para que una hermosa intuición se da aquí.

En mi punto de vista, aunque esto le da a la intuición de un componente en la prueba de Hölder la desigualdad, esto en realidad no dar una intuición de la desigualdad en sí misma.

(Pero tal vez estoy equivocado? hace que la integración real de tener "contenido real", o es Hölder realmente nada, pero los Jóvenes de la desigualdad en el disfraz? Parte de la confusión es que la intuición para los Jóvenes de la desigualdad se basa en la integración, por lo que si contamos que, la intuición de Hölder debe ser algún tipo de "integración doble"... )

Para ver que la intuición geométrica de los Jóvenes y de Hölder desigualdades son algo diferentes, podemos ver el $p=q=2$:

En ese caso, los Jóvenes de la desigualdad es sólo el estándar AM-GM de la desigualdad de dos variables. Esta desigualdad se puede interpretar geométricamente. Aunque aquí también se puede ver esto como "proyección sólo se acorta", la situación es un poco diferente que la de Cauchy-Schwarz desigualdad. (Al menos las razones detrás de la "igualdad de los casos" se parecen ligeramente diferente para mí).

Answer 1

(Antes de llegar a la intuición: se ha de mencionar la prueba de los Jóvenes de la desigualdad, pero no es otra buena prueba de que es una aplicación directa de la desigualdad de Jensen. Suponga $\|f\|_p=\|g\|_q=1$ $f,g>0.$ $(\int fg)^p=[\int g^q(fg_{1-q})]^p\leq \int g^q(fg^{1-q})^p=\int f^p=1.$ La desigualdad proviene de la convexidad de $x^p$ y la probabilidad de medida $d\mu=g^qdx.$)

En cualquier espacio de Banach $V$ hay una desigualdad $|\langle x,f\rangle|\leq \|x\|_V \|f\|_{V^*}.$ Esto es casi una tontería, pero es un reflejo de la geométrica hecho de la que el hecho de que la unidad de bolas son convexas. Vectores en el espacio dual $V^*$ representan hyperplanes que el apoyo de la unidad de la bola en $V.$

Desde el punto de vista de la geometría de espacios de Banach, la intuición detrás de Hölder de la desigualdad es que el espacio dual de $L^p$ tiene una representación integral como $L^q.$ Si se toma un punto de $f_0$ $L^p$ unidad de la esfera, el apoyo hyperplane es $\{f\mid\int fg=1\}$ donde $g=\overline{f_0}|f_0|^{p-2},$ o, simplemente, $g=f_0^{p-1}$ con la suposición de $f_0>0.$ $\|f\|_p=1$ obtenemos $\int fg\leq 1,$ que es Hölder la desigualdad.

Incluso si usted no tenía idea de cuál es el espacio dual de $L^p$ podría ser, sería natural para derivar la convexidad de la desigualdad de $f^p\geq f_0^p+pf_0^{p-1}(f-f_0)$ - esta es la ecuación para el apoyo a hyperplane en $x=f_0$ en la curva de $x\mapsto x^p.$ la Integración de da $\int f^p\geq \int f_0^p+p\int f_0^{p-1}(f-f_0),$ que es un tipo de apoyo hyperplane ecuación en $L^p.$ la Reorganización y establecimiento $f_0=g^{1/(p-1)}$ da $\int f^p+(p-1)\int g^q\geq p\int fg,$ que es Hölder la desigualdad, después de escalar para llegar a $\|f\|_p=\|g\|_q=1.$ Este argumento es sólo los Jóvenes de la desigualdad en el disfraz, pero espero que la aparición de $q$ le parece muy natural aquí.

Para todos estos tipos de desigualdades que vale la pena leer https://terrytao.wordpress.com/2007/09/05/amplification-arbitrage-and-the-tensor-power-trick/ si usted no tiene ya.