Teoría del campo continuo para el modelo de Ising

Question

Mi problema es tomar el $d$ -El hamiltoniano de Ising es una dimensión, $$H = -\sum_{i,j}\sigma_i J_{i,j} \sigma_j - \sum_{i} \tilde{h}_i \sigma_i$$ donde $J_{ij}$ es una matriz que describe los acoplamientos entre sitios $i$ y $j$ . Aplicando una transformación Hubbard-Stratonovich, reescribir la función de partición como $$Z = N_0 \int d^N \psi \exp\left\{-\left[\frac{1}{4}\sum_{i,j} \psi_i K_{ij} \psi_j - \sum_{i} \ln[\cosh(h_i+\psi_i)]\right]\right\}$$ donde $N_0$ es una constante de normalización global, $K_{ij} = (\beta J_{ij})^{-1}$ y $h_i = \beta\tilde{h}_i$ . Esto es relativamente sencillo. Escribimos el campo como $\psi_i = \phi_i - h_i$ y podemos demostrar que $\left<\phi_i\right> \propto J_{ij} \left<\sigma_j\right>$ es decir, puede interpretarse como un "campo medio" en el lugar $i$ debido a la interacción con todos los demás sitios.

A continuación, suponemos que la variación del campo es pequeña, $\left|\phi_i\right|<<1$ , establecemos $h_i = 0$ y ampliar $\ln \cosh(x) \approx \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{12}x^4$ para conseguir $$Z \approx N_0\int d^N\psi \exp\left\{-\left[\frac{1}{4}\sum_{i,j}\phi_i K_{ij} \phi_j - \sum_i \left[\frac{\phi_i^2}{2} - \frac{\phi_i^4}{12}\right]\right]\right\}$$

Ahora tomamos el límite continuo, en unidades donde el espaciado de la red es la unidad, etiquetando cada sitio por su posición $\mathbf{r}$ , lo que da $$Z\rightarrow \mathcal{N} \int \mathcal{D}\phi\, \exp\left\{-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\int d\mathbf{r}\,d\mathbf{r}'\,\phi(\mathbf{r}) K(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \phi(\mathbf{r}') - \int d\mathbf{r}\,\left[\phi(\mathbf{r})^2 - \frac{\phi(\mathbf{r})^4}{6}\right]\right]\right\}$$

Aquí es donde no estoy seguro de cómo proceder. Me han dicho que amplíe $\phi(\mathbf{r}')$ como una pequeña variación del valor en $\mathbf{r}$ es decir $$\phi(\mathbf{r}') \approx \phi(\mathbf{r}) + (x_\mu'-x_\mu)\partial_\mu \phi(\mathbf{r}) + \frac{1}{2}(x_\mu' - x_\mu)(x_{\nu}'-x_\nu)\partial_\mu \partial_\nu \phi(\mathbf{r}) + \cdots$$ e introducir la transformada de Fourier $\tilde{K}(\mathbf{q}) = \int d\mathbf{r} K(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}$ y escribir la acción del continuo como $$S = \int d^d\mathbf{r} \left[c_1 \left(\partial \phi\right)^2 + c_2 \phi^2 + c_4 \phi^4\right]$$ y encontrar los coeficientes en términos de $\tilde{K}(0)$ y $\tilde{K}''(0)$ .

Creo que puedo argumentar que $K$ es sólo una función de $\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|$ , en cuyo caso $K(\mathbf{r}-\mathbf{r}')(x_\mu'-x_\mu)$ es impar sobre el punto $\mathbf{r}$ y así integrar sobre $d\mathbf{r}'$ (tratamiento $\mathbf{r}$ como constante) matará cualquier término excepto los que dependen del cuadrado de la diferencia, dejándome con $$\int d\mathbf{r}\,d\mathbf{r}'\,\phi(\mathbf{r}) K(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \phi(\mathbf{r}') = \int d\mathbf{r}\,d\mathbf{r}' K(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\left(\phi(\mathbf{r})^2 + \frac{1}{2}(x_\mu'-x_\mu)^2\phi(\mathbf{r})\partial_\mu^2 \phi(\mathbf{r})\right) $$

El primer término lo puedo manejar, pero es el segundo término el que no sé cómo manejar.

Answer 1

Puedes escribir la parte de interacción (a escala) de la acción como: $$S_I \equiv \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi(\mathbf r)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ K(\mathbf r-\mathbf r') \ \phi(\mathbf r')$$ Tomemos la integral interna sobre $\mathbf r'$ primero (lo llamaré $\mathcal I$ para facilitar las cosas). Ampliar $\phi(\mathbf r')$ alrededor de $\mathbf r$ da : $$\mathcal I \equiv\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ K(\mathbf r-\mathbf r') \ \phi(\mathbf r') \approx \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ K(\mathbf r-\mathbf r') \ \bigg(\phi(\mathbf r)+ \sum_{i=1}^d (x_i'-x_i)\partial_i \phi(\mathbf r) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\frac 12\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^d (x_i'-x_i)(x_j'-x_j)\partial_i \partial_j \phi(\mathbf r) \bigg)$$ Ahora toma la integral en el interior para conseguir: $$\mathcal I\approx \phi(\mathbf r) \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ K(\mathbf r-\mathbf r') \ + \sum_{i=1}^d \partial_i \phi(\mathbf r)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r' \ (x_i'-x_i) K(\mathbf r-\mathbf r') +\frac 12\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^d \partial_i \partial_j \phi(\mathbf r) \times\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r'(x_i'-x_i)(x_j'-x_j)K(\mathbf r-\mathbf r') \bigg)$$ Suponiendo ahora que el acoplamiento sea homogéneo, $K(\mathbf r-\mathbf r')\equiv K(\mathbf r'-\mathbf r)$ . Teniendo esto en cuenta, y también cambiando las variables $\mathbf R \equiv \mathbf r'-\mathbf r$ obtenemos:

$$\mathcal I \approx \phi(\mathbf r) \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) \ + \sum_{i=1}^d \partial_i \phi(\mathbf r)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_i K(\mathbf R) +\frac 12\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^d \partial_i \partial_j \phi(\mathbf r) \ \ \ \ \times\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_iR_jK(\mathbf R) \bigg)$$ Puedes relacionar cada una de las integrales sobre $\mathbf R$ a la transformada de Fourier de $K(\mathbf R)$ definido como $\tilde K(\mathbf q) \equiv \int_{\mathbb R^d} d^d \mathbf R \ K(\mathbf R)\exp(-i \mathbf{q} . \mathbf R)$ :

- Primera integral: $$\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) = \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R} |_{\mathbf q =0} = \tilde K(\mathbf 0)$$ - Segunda integral: $$\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_i K(\mathbf R) =0$$ Debido a que el integrando es impar como has mencionado.

- Tercera integral:
Para este primero notamos que como mencionaste la integral es cero para todos los diferentes $i,j$ . Para $i=j$ primero hay que tener en cuenta que..: $$\frac{\partial^2}{\partial q_i^2} \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R} = \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ (-i)(-i) R_i R_i K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ = - \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_i^2 K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R} $$ Lo que implica: $$\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ R_i^2 K(\mathbf R)=-\frac{\partial^2}{\partial q_i^2} \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf R \ K(\mathbf R) \ e^{-i \mathbf q. \mathbf R}|_{\mathbf q=0}=-\frac{\partial^2}{\partial q_i^2}\tilde K(\mathbf q) |_{\mathbf q=0} $$ Ahora bien, si se supone que el acoplamiento también es isotrópico, es decir $\exists \mathcal K : K(\mathbf R) \equiv \mathcal K(|\mathbf R|)$ la transformada de Fourier de $K$ se convertirá en una función de una sola variable, lo que significa que la tercera integral es sólo $-\tilde K''(0)$ .

En resumen, $\mathcal I$ es: $$\mathcal I \approx \phi(\mathbf r) \tilde K(0) \ - \frac 12\sum_{i=1}^d \partial_i^2 \phi(\mathbf r) \tilde K''(0)$$ Así, el término de interacción en la acción es: $$S_I = \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi(\mathbf r) \mathcal I = \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi(\mathbf r)\bigg(\phi(\mathbf r) \tilde K(0) \ - \frac 12\sum_{i=1}^d\partial_i^2 \phi(\mathbf r) \tilde K''(0)\bigg)$$

$$=\tilde K(0)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi^2(\mathbf r) - \frac {\tilde K''(0)}2\sum_{i=1}^d \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi(\mathbf r) \ \partial_i^2 \phi(\mathbf r) $$ Integrando por partes en el segundo término se obtiene (los términos de frontera desaparecen porque $\phi(\mathbf r) \to 0$ como $|\mathbf r| \to \infty$ para que las integrales converjan): $$S_I =\tilde K(0)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi^2(\mathbf r) + \frac {\tilde K''(0)}2\sum_{i=1}^d\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \partial_i \phi(\mathbf r) \ \partial_i \phi(\mathbf r)$$ $$=\tilde K(0)\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \phi^2(\mathbf r) + \frac {\tilde K''(0)}2 \int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \sum_{i=1}^d (\partial_i \phi(\mathbf r))^2$$

$$=\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \bigg( \tilde K(0) \phi^2(\mathbf r) + \frac {\tilde K''(0)}2 \ \big( \partial \phi(\mathbf r) \big)^2 \bigg)$$ Al enchufar esto la acción completa finalmente da: $$S[\phi] =\int_{\mathbb R^d}d^d \mathbf r \ \bigg( \frac {\tilde K''(0)}8 \ \big( \partial \phi(\mathbf r) \big)^2 + \left(\frac {\tilde K(0)}{4}- \frac 12\right) \phi^2(\mathbf r) + \frac 1{12} \phi^4(\mathbf r) \bigg) $$ Obsérvese que el coeficiente del término cuadrático puede cambiar de signo con la temperatura (mediante $\tilde K$ ), que es un signo de transición de fase .