Me preguntaba si alguien podría darme un ejemplo de un colector topológico que no sea un colector liso. En concreto, quiero un ejemplo de un colector topológico en el que no se pueda dar una estructura diferenciable.
He pensado mucho pero en vano. Si alguien pudiera poner algo de luz sería de gran ayuda.
Teorema. Cualquier colector topológico de dimensión $2$ o $3$ se puede dotar de una estructura de colector analítico real. Además, dos de estas estructuras que son homeomorfas son $C^\omega$ -difeomorfo.
Prueba. Ver Topología geométrica en dimensión $2$ y $3$ por E. Moise. $\Box$
Por lo tanto, un ejemplo debe tener una dimensión de al menos $4$ Esta construcción no es fácil, véase, por ejemplo, el artículo Un colector que no admite ninguna estructura diferenciable por M. Kervaire.
@Randall Cualquier colector topológico conectado (sin frontera) de dimensión $1$ es homeomorfo a la recta real o al círculo unitario y ambos pueden estar dotados de una estructura de colector analítico real, por lo que el teorema también se cumple en dimensión $1$ ¡! No lo mencioné porque es un resultado menos profundo, ¡pero es una buena pregunta! :)
Puede ver el ejemplo de Kervaire El colector "más fácil" de no alisar
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