¿La teoría de la probabilidad es el estudio de funciones no negativas que integran / suman a uno?

Question

Esta es probablemente una pregunta tonta, pero es la teoría de la probabilidad en el estudio de las funciones que integran/suma de a uno?

EDIT. Me olvidé de no negatividad. Así es la teoría de la probabilidad en el estudio de la no-negativo de las funciones que integran/suma de a uno?

Answer 1

En un nivel puramente formal, que podríamos llamar la teoría de la probabilidad en el estudio de medir los espacios con el total de la medida de uno, pero eso sería como el número de llamadas de la teoría en el estudio de las cadenas de dígitos que terminar

-- de Terry Tao Temas al azar en la teoría de la matriz.

Creo que esta es la realidad fundamental de la cosa. Si tenemos un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathscr F, P)$ y una variable aleatoria $X : \Omega \to \mathbb R$ con pushforward medida $P_X := P \circ X^{-1}$, entonces la razón de densidad, $f = \frac{\text d P_X}{\text d\mu}$ integra a uno es porque $P(\Omega) = 1$. Y eso es más fundamental que los archivos pdf vs fmp.

Aquí está la prueba: $$ \int_{\mathbb R} f \,\text d\mu = \int_{\mathbb R} \,\text dP_X = P_X(\mathbb R) = P\left(\{\omega \en \Omega : X(\omega) \in \mathbb R\}\right) = P(\Omega) = 1. $$

Esto es casi una reformulación de AdamO la respuesta (+1), ya que todos los CDFs son càdlàg, y hay un uno-a-uno entre el conjunto de Cdf en $\mathbb R$ y el conjunto de todas las medidas de probabilidad en $(\mathbb R, \mathbb B)$, pero desde el CDF de un RV es definido en términos de su distribución, considero que la probabilidad de espacios como el lugar para "empezar" con este tipo de esfuerzo.

Answer 2

No; el Cantor de distribución es un contraejemplo. Es una variable aleatoria, pero no tiene la densidad. Tiene una función de distribución, sin embargo. Yo diría que, por lo tanto, que la teoría de la probabilidad es el estudio de càdlàg funciones, incluido el Cantor DF, que han salido de los límites de 0 y a la derecha de los límites de 1.

Answer 3

Bueno, parcialmente cierto, carece de una segunda condición. Negativo probabilidades no tienen sentido. Por lo tanto, estas funciones se han de satisfacer dos condiciones:

• Continua distribuciones: $$ \int_{\mathcal{D}}f(x) dx = 1 \quad \text{and} \quad f(x)>0 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

• Distribuciones discretas: $$ \sum_{x \in \mathcal{D}}P(x) = 1 \quad \text{and} \quad 0<P(x) \leq 1 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

Donde $\mathcal{D}$ es el dominio donde la distribución de probabilidad está definida.

Answer 4

Yo diría que no, que no es lo que la teoría de la probabilidad fundamentalmente es, pero yo diría que por razones diferentes de las otras respuestas.

Fundamentalmente, yo diría, la teoría de la probabilidad es el estudio de dos cosas:

1. Los procesos estocásticos, y

2. La inferencia bayesiana.

Procesos estocásticos incluye cosas como el rodar de los dados, dibujo bolas de urnas, etc., así como los modelos más sofisticados en la física y las matemáticas. La inferencia bayesiana es el razonamiento en condiciones de incertidumbre, el uso de probabilidades para representar el valor de una cantidad desconocida.

Estas dos cosas están más relacionados de lo que pueda parecer a primera vista. Una de las razones que puedan estudiar bajo el mismo paraguas es que los aspectos importantes de ambas puede ser representado como no negativo funciones que suma/integrate a uno. Pero la probabilidad no es sólo el estudio de las funciones - su interpretación en términos de procesos aleatorios y la inferencia es también una parte importante de ella.

Por ejemplo, la teoría de la probabilidad incluye conceptos tales como condicional de probabilidades y variables aleatorias, y las cantidades, tales como la entropía, la información mutua, y la esperanza y varianza de variables aleatorias. Mientras que uno podría definir estas cosas puramente en términos de normalizado no negativo funciones, la motivación para esto parecería bastante raro, sin la interpretación en términos de procesos aleatorios y la inferencia.

Por otra parte, a veces uno viene a través de conceptos en la teoría de la probabilidad, en particular en la inferencia de lado, que no puede ser expresado en términos de un no-negativo de la función que se normaliza a uno. El llamado "inadecuado de los priores" vienen a la mente aquí, y AdamO dio el Cantor de distribución como otro ejemplo.

Ciertamente hay algunas áreas de la teoría de la probabilidad en la que el principal interés está en las propiedades matemáticas de normalizado no negativo funciones, para lo cual los dos dominios de aplicación que he mencionado no son importantes. Cuando este es el caso, a menudo se le llama teoría de la medida, en lugar de la teoría de la probabilidad. Pero la teoría de la probabilidad es también - de hecho, yo diría que la mayoría de los de un campo aplicado, y las aplicaciones de las distribuciones de probabilidad son en sí mismos no trivial de la componente del campo.