Mostrando que hay infinitamente muchos entero de soluciones para la hiperbólica fórmula $|a^2 - 26 b^2| = 1$

Question

Quiero mostrar que la fórmula

$$ | a^2 - 26\cdot b^2| = 1$$

tiene una infinidad de soluciones $(a, b) \in \mathbb{Z}^2$.

Primero traté de resolver la fórmula para una de las dos variables, para obtener algo como $a = ±\sqrt{±1 + 26 b^2}$ o $b = \sqrt{-\frac{±1 - a^2}{26}} $, pero ambos no se ve muy prometedor, ya que ahora necesitaría demostrar que hay infinitamente muchos entero soluciones para $b$ (o $a$) por lo que el otro es también un número entero.

Yo, sin embargo, obtener algunas soluciones. Yo podría (por más o menos tratando de valores) averiguar que $(5, 1), (51, 10)$ son dos soluciones. (Y por lo tanto también se $(-5, 1)$ y así sucesivamente.) Así que tal vez hay una manera recursiva para obtener los nuevos valores, basados en las que ya tengo, es decir, una fórmula $\phi(a, b)$, de modo que, cuando se $(a, b)$ es un número entero solución, $\phi(a, b)$ es así? (Probablemente íbamos a necesitar un extra de condiciones al igual que los componentes de $\phi(a, b)$ son estrictamente mayor que $a, b$, por lo que realmente conseguir nuevas soluciones y no de los que ya tenía de antes.)

Ver como en realidad no me quiere encontrar una fórmula para las soluciones reales, también sería suficiente si no hay una prueba de que hay infinitamente muchas soluciones que no se trata de encontrar alguna de las soluciones. Pero hasta ahora, no he tenido ninguna suerte con eso.

(Yo no estaba totalmente seguro de lo que las etiquetas para elegir; el problema parecía analíticos para mí si otras etiquetas son vistos como más a medida, por favor siéntase libre de corregirlos.)

Answer 1

$(5a+26b)^2-26(a+5b)^2=-(a^2-26b^2)$. Así que usted puede utilizar una solución para generar otra solución más amplia. Por ejemplo, comenzando con $(5,1)$, consigue $(51,10)$.

Answer 2

$|a^2-26b^2|=1$ tiene una infinidad de soluciones si y sólo si $a^2-26b^2=1$ o $a^2-26b^2=-1$ tiene una infinidad de soluciones.

Las últimas son conocidas como las ecuaciones de Pell (enlace de Wikipedia) y se han stuided a fondo. La página de la Wikipedia tiene explicaciones completas sobre cómo encontrar el proceso de parametrización. También puede que desee ver en la mathworld sitio.

Answer 3

Si $\alpha=a+b\sqrt{26}$, vamos a $N(\alpha)=a^2 - 26b^2$. A continuación,$N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)$.

Ahora, mediante la inspección, si $\theta = 5+\sqrt{26}$,$N(5+\sqrt{26})=-1$.

Por lo tanto, $|N(\theta^n)|=|N(\theta)^n|=1$ $\theta^n$ le da una infinidad de soluciones.

Tenga en cuenta que$\theta^n=a_n + b_n \sqrt{26}$,$a_n,b_n \in \mathbb Z$. De hecho, $$ \begin{array}% a_{n+1} =& 5a_n+26b_n, && a_0 =& 1 \\ b_{n+1} =& a_n + 5b_n, && b_0 =& 0 \end{array} $$

Answer 4

Aquí es lo que usted no desea. Todos de ellos. $$ x_n^2 - 26 y_n^2 = (-1)^n, $$ con $$ x_0 = 1, \; \; x_1 = 5, \; \; x_2 = 51, \; \; x_3 = 515, \; \; x_4 = 5201, \ldots $$ $$ y_0 = 0, \; \; y_1 = 1, \; \; y_2 = 10, \; \; y_3 = 101, \; \; y_4 = 1020, \ldots $$ con $$ x_{n+2} = 10 x_{n+1} + x_n, $$ $$ y_{n+2} = 10 y_{n+1} + y_n. $$

Para llegar círculo completo, a la par de las repeticiones son simplemente decir que $x_n/y_n$ es convergente para $\sqrt {26},$ y los "dígitos" para que la continuación de la fracción son $$ \left[5; 10, 10, 10, 10, \ldots \right] $$

Bien, curioso lo que sucede en general. Si tenemos positivos $N$ tal negativa que Pell es solucionable, y tomamos el más pequeño de lasolución $$ u^2 - N v^2 = -1 $$ con positivos $u,v$, luego tenemos a $x_n - N y_n^2 = (-1)^n,$ donde $$ x_0 = 1, \; \; x_1 = u, \; \; x_2 = 2u^2 + 1, \; \; x_3 = 4 u^3 + 3u, \; \; x_4 = 8u^4 + 8u^2 + 1 ,\ldots $$ $$ y_0 = 0, \; \; y_1 = v, \; \; y_2 = 2uv, \; \; y_3 = 4 u^2 v + v, \; \; y_4 = 8 u^3 v + 4 u v, \ldots $$ y $$ x_{n+2} = 2u x_{n+1} + x_n, $$ $$ y_{n+2} = 2u y_{n+1} + y_n. $$