Si $(x-a)^2=(x+a)^2$ para todos los valores de $x$, entonces ¿cuál es el valor de $a$?

Question

Si $(x-a)^2=(x+a)^2$ para todos los valores de $x$, entonces ¿cuál es el valor de $a$?

Al final, cuando usted consigue $4ax=0$, puedo dividir por $4x$ a cancelar $4$$x$?

Answer 1

Ya sabemos que $$(x-a)^2 = (x+a)^2$$ holds for all $x$, en particular, se sabe que para $x=a$. El taponamiento de que en la relación de los rendimientos $$0=4a^2$$ from which we conclude that $a=0$.

Answer 2

$$(x-a)^2 = (x+a)^2$$ $$x^2 - 2ax + a^2 = x^2 + 2ax + a^2$$ $$x^2 - 2ax + a^2 = x^2 + 2ax + a^2$$ $$-2ax = 2ax$$ $$-a = a$$ Tenga en cuenta que esta declaración sólo es cierto cuando se $a=0$, que es lo que tu solución.

Answer 3

Simplificando, después de la expansión de las plazas que usted consigue

$$ a \cdot x = 0 $$

uno o ambos de ellos puede ser cero.

Sin embargo, usted está específicamente, dado que para todos los valores de $x$... Así que no se ponga un particular $ x=0. $

La única opción es $ a=0. $

También para cualquier función de si $ f(x+a) = f(x-a)$, $ a =0.$

Como si $\, e^ { x+a } \sin ( x+a) = e^ { x-a } \sin ( x-a) $,, $ a=0$

Answer 4

Si $(x-a)^2=(x+a)^2$ todos los $x$, a continuación, los gráficos de las funciones de $x\mapsto (x-a)^2$ $x\mapsto (x+a)^2$ coinciden, pero estos son sólo parábolas con raíces en$a$$-a$, respectivamente. Ya que deben coincidir, $a = -a$, lo que implica $a = 0$.

Answer 5

Creo que las otras respuestas ajuste mejor a resolver lo que estás pensando, pero voy a escribir esto en el caso de que quieras saber más.

Si estamos trabajando en un polinomio anillo como $\mathbb Z _2 \left[ x \right]$, luego esta igualdad se cumple siempre, ya que ese $\left(x-a \right)^2 = \left(x+a \right)^2$ todos los $a\in \mathbb Z _2$. Esto es porque en $\mathbb Z _2 = \left\{ 0,1 \right\}$ se tiene que cualquier elemento es su propio opuesto aditivo (es decir, $0+0=0$$1+1=0$), por lo $a=-a$ en cualquiera de los dos casos.

Esto no sucede cuando se trabaja en $\mathbb R$, por ejemplo, pero pensé que era una cosa interesante a añadir.