Necesito una referencia acerca de una definición. Deje $n$ ser un número entero y $G$ ser un grupo de $H^n$(Sobolev) automorfismos de un vector paquete de $E$ en algunas de las colector $M$ $C$ ser el espacio de las conexiones de la clase $H^{n-1}$, ¿cuál es la definición que $G$ actos "sin problemas" en la $A$?
Respuesta
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Para hablar acerca de la suavidad de una acción, tenemos que estar seguros de que el grupo es una Mentira grupo, y en el caso de Sobolev medidor de transformaciones (paquete de automorfismos) la suavidad se basa en el uso de alguna norma de Sobolev teoría.
He aquí un resumen de un caso especial. Deje $G \subset \mathrm{GL}(n, \Bbb R)$ ser una Mentira grupo. Si $\mathscr{G}_{p,k}$ es el grupo de $W^{p,k}$ indicador de las transformaciones de un director de una $G$-bundle $P \longrightarrow M^n$, entonces se sabe que $\mathscr{G}_{p,k}$ es una de Banach Mentira grupo para $k - 1 > n/p$ (en su pregunta usted tiene $p = 2$, y que en caso de $\mathscr{G}_{2,k}$ es una de Hilbert Mentira grupo para $k - 1 > n/2$). Por lo tanto, cuando $k - 1 > n/p$, $\mathscr{G}_{p,k}$ es un buen (infinito-dimensional) colector. Por supuesto, el espacio $\mathscr{A}_{p,k-1}$ $W^{p,k-1}$ de las conexiones es un buen Banach colector (es un espacio afín).
Por lo tanto, cuando $G \subset \mathrm{GL}(n, \Bbb R)$$k - 1 > n/p$, la frase "$\mathscr{G}_{p,k}$ actúa suavemente sobre la $\mathscr{A}_{p,k-1}$" significa exactamente lo que usted piensa que debería significar: el mapa $$\mathscr{A}_{p,k-1} \times \mathscr{G}_{p,k} \longrightarrow \mathscr{A}_{p,k-1},$$ $$(A, g) \mapsto g^\ast A$$ es un buen mapa de Banach colectores.
Aquí son algunas de las referencias que podría ser digno de la comprobación hacia fuera para más detalles:
Una Introducción a la Teoría de Gauge por John Morgan, en el libro Teoría de Gauge y la Topología de $4$-Colectores.
Las primeras conferencias de Tom Mrowka del Maestro de la Clase en Aarhus (videos incluidos!).
El apéndice a de Instantons y Cuatro Colectores por la libertad y Uhlenbeck. Las ideas son similares para el caso general, pero ya que este es un libro sobre instantons asumen $M$ es un cerrado $4$-colector y $G = \mathrm{SU}(2)$.
