Demostrar que un convexo 3D poliedro con todas las caras es un prisma rectangular

Question

Parece bastante obvio, pero eso no siempre significa que la prueba es trivial, o incluso que el resultado es cierto.

Claramente el supuesto de convexidad no puede ser abandonado, porque de lo contrario uno puede comenzar con un prisma y saca un pequeño rectángulo en forma de hueco en una de sus caras.

edit: debo añadir que tengo lo que parece bastante simple prueba; pero tengo curiosidad para ver si hay otras maneras de ver esto.

Answer 1

Cada vértice de dicho poliedro convexo es el punto en común de exactamente tres caras: la de no poder ser $\leq 2$ o $\geq 4$. De ello se desprende que tres ortogonal bordes concurren en cada vértice. Podemos terminar incorporando nuestro poliedro en $\mathbb{R}^3$ y suponiendo un vértice está en el origen y la partida de los bordes están dadas por la positiva $x,y$ $z$ direcciones. Hay tres rectangular y ortogonal caras en el $xy,xz,yz$ aviones: consideremos los vértices en esos rostros más alejado del origen. Tres ortogonal de los bordes debe apartarse de ellos y se reúnen en un punto de $O'$. De ello se desprende que el original poliedro es un prisma y $OO'$ es una de sus diagonales.

Como una alternativa, dado que todo vértice tiene grado $3$ y cada cara tiene $4$ lados, por la fórmula de Euler

$$ 2 = F+V-E = F+\frac{4}{3}F-2F $$ por lo tanto $F=6$.

Si dejamos caer la convexidad, tenemos este buen contador-ejemplo fabricados por unión de siete cubos:

$\hspace{4cm}$

Answer 2

No sé si responder a la propia pregunta es la correcta taladro, en lugar de editar el original, pero de todos modos he probado de la siguiente manera ..

Considere la posibilidad de una cara bordeado por el lado más largo (o "un" lado más largo, como no puede ser de más de una articulación lado más largo), y luego considerar la vecina cara(s) el intercambio de este lado.

Si hay más de un vecino de la cara, luego entre dos consecutivos tales caras debe ser un tercio de la cara normal a ambos (* consulte edición de abajo). Pero lo suficientemente cerca de la cara común de estos tres caras deben formar una concavidad, contrariamente a nuestra hipótesis inicial de que la convexidad.

Por lo tanto no puede haber más de un vecino de la cara de unirse a este borde más largo, cubriendo completamente, y desde este borde longitud máxima de los vecinos de la cara no puede extenderse más allá del borde en los extremos.

Desde esta vecina de la cara es rectangular, el mismo argumento puede aplicarse a la orilla opuesta de la arista común, ya considerados, y continuando de esta manera deducimos que debe ser una cinta como la secuencia de caras rectangulares cada consecutivos par de los cuales comparte una arista común de longitud máxima.

Por convexidad cada par adyacente de las caras tiene un ángulo interior de menos de 180 grados, y, finalmente, la "cinta de opciones" debe cumplir con la espalda en el borde donde empezamos.

Por lo tanto nuestro poliedro es un prisma, en el que las caras superior e inferior y también debe ser rectángulos y el resultado de la siguiente manera.

edit: (*) La "tercera cara normal a ambos" aspecto necesita una ligera elaboración, porque en realidad no podía ser más que una cara entre los dos sesgar caras en las que se considera. Pero lo suficientemente cerca del punto donde los dos sesgar caras satisfacer, la cara(s) entre ellos debe constar de una o más caras, cuyos bordes todos confluyen en ese punto, es decir, una especie de multi-caras piramidales disposición. Pero entonces, una simple limitación de argumento muestra que debe haber una concavidad lo suficientemente cerca del punto común a las dos sesgar caras.