Nueva función definida por el rastro de un $H^1$ función

Question

Deje $\Omega:=B(0,1)\subset \mathbb R^N$ la constitucion de la pelota y $N\geq 2$. Dado $u\in H^1(\Omega)$. Entonces la traza $T[u]$ está bien definido sobre $\partial \Omega$. (por $H^1$ me refiero a $W^{1,2}$ espacio)

Ahora vamos a considerar el dominio $\Omega':=B(0,1)\setminus \overline{B(0,1/2)}$. Tratemos de usar coordenadas polares para $x=(\theta,r)$. A continuación, defina una nueva función de $v$ $\Omega'$ por $$ v(x):=T[u](x') $$ donde$x'=(\theta,1)$$x=(\theta,r)\in \Omega'$.Es decir, $v(x)=T[u](x')$ $x'=x/|x|$, $x\in \Omega'$.

Mi pregunta: ¿qué tipo de función $v$ es sobre el dominio $\Omega'$? Es una $H_1(\Omega')$ función?

Answer 1

Dado un general $H^1$ función, sería en el mejor de $H^{\frac{1}{2}}$ función, considere el caso donde $T[u]\in H^{\frac{1}{2}}(\partial\Omega)\setminus H^1(\partial\Omega)$, e $N=2$. La función que hemos definido, puede ser representado en coordenadas polares por una función de $w(r,\theta)=v(x)$ donde$r=|x|$$\theta=\arctan\frac{x_2}{x_1}$. Aviso de que es constante en $r$, y así vemos que $$\|v\|_{H^1(\Omega')}^2=\int_0^{2\pi}\int_{1/2}^1w^2r+w_\theta^2r\,dr\,d\theta$$ $$=\int_{1/2}^1r\,dr\int_0^{2\pi}w^2+w_\theta^2\,d\theta$$ $$=\frac{1}{4}\int_0^{2\pi}w^2+w_\theta^2\,d\theta.$$ Sabemos que $w$ coincide con $T[u]$, y también la derivada con respecto a la theta es la tangencial derivado en $\partial\Omega'$, con lo que obtenemos $$\|v\|_{H^1(\Omega')}^2=\frac{1}{4}\|T[u]\|_{H^1(\partial\Omega)}=\infty.$$