Tiene alguna de las definiciones de las matemáticas ha redefinido

Question

Basado en ciertas intuiciones y de las motivaciones que nos hacen ciertas definiciones y, a continuación, proceder a la utilización de estos conceptos en el desarrollo de nuestra intuición. Por ejemplo, tenemos la intuición de que una línea tiene dimensión uno, un plano de dimensión dos y así sucesivamente. Por lo tanto, cuando definimos el término dimensión, es de tal manera que coincide con nuestro sentimiento natural, ya que es en el área de la topología o espacios vectoriales o producto interior de los espacios.

Ahora, muy a menudo, podría resultar que la definición parece incluir no intuitivo de los casos. Por ejemplo, un espacio de llenado de la curva no coincide con el sentimiento natural de una curva, aunque es un mapa continuo como requiere la definición de la curva.

Mi pregunta es ¿hay ejemplos en los que los términos involucrados han sido redefinidos debido a que se encontró que las definiciones anteriores son insuficientes?

Answer 1

A lo largo de la historia de las matemáticas términos han sido redefinidos, porque los conceptos son útiles en más de la configuración general de los que originalmente fueron concebidos:

1) primer (simple definición en los enteros, pero la idea de un primer tiene que ser refundidos para trabajar bien en otros anillos, donde se produce una distinción entre lo que ahora se llama "prime" y "irreductible"),

2) algebraica de números (originalmente definido como un cierto tipo de número complejo, pero cuando la importancia de la $p$-ádico de los campos en el mismo pie de igualdad, de $\mathbf R$ $\mathbf C$ convirtió en la más clara, el término se aplica más ampliamente)

3) grupo (originalmente era un grupo de permutaciones, por lo que en el caso finito de la existencia de inversos no era ni siquiera un axioma).

4) variedad algebraica (originalmente definida sobre los números complejos como un cierto subconjunto de afín o proyectiva espacio de más de $\mathbf C$ antes de ser generalizada por Weil, Zariski, y, finalmente, Grothendieck). El término "curva elíptica" ha sufrido un cambio similar en su definición.

5) producto tensor (primero para finito-dimensional real o complejo de espacios vectoriales, usando bases, a continuación, de manera más general para módulos que no necesariamente tienen una base)

Algunas controversias sobre las definiciones de continuar a este día, por ejemplo, si es o no un anillo conmutativo debe contener una identidad multiplicativa (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_%28mathematics%29#History).

Answer 2

1 se utiliza para ser un número primo, pero hoy en día no es (a fin de no romper la Única teorema de Factorización). Vamos a pensar en ello, los Griegos ni siquiera considerar 1 un número a todos!!!!

Answer 3

Como Hurkyl dice, después de la "función" hemos definido como "función continua" y, a continuación, "suave" y "analítica", pero antes de que la noción de función se ha cambiado varias veces. Por ejemplo, las siguientes características de las funciones son todos los "nuevos" en el sentido de que los antiguos autores no siempre los utilizan:

• las funciones pueden ser especificados por algo distinto a un cálculo de hormigón
• las funciones pueden ser definidas en otros conjuntos de "números", cualquiera que sea el significado de número
• las funciones están definidas de forma exclusiva (no multi-funciones; por ejemplo, la raíz cuadrada de la "función" se considera que tienen valores positivos y negativos)
• las funciones son en total (por ejemplo, la función de raíz cuadrada se considera una función de reales a los reales)
• las funciones pueden no surjective (es decir, no tienen definida una co-dominio, distintos de los de su gama)

Answer 4

La noción de continuidad menciona en la pregunta, es un buen ejemplo. En el siglo 18 Euler entendido que una función sea continua si la función está definida por una ecuación única. Por lo tanto modernas funciones continuas definidas en un tramos de la moda no sería continuo a Euler.

En el siglo 19 de Cauchy definida de una función continua $y=f(x)$ requerir que un infinitesimal $x$incremento $\alpha$ siempre produce un cambio infinitesimal en $y$. En otras palabras, $f(x+\alpha)-f(x)$ también es infinitesimal. Esta definición aparece en la página 34 de su libro de texto Cours d'Analyse impreso en 1821, y en todos los textos donde Cauchy discute la continuidad.

La mitad de un siglo más tarde, esta definición de continuidad se ha encontrado para ser lo suficientemente precisa, y se sustituye por la definición de $\forall\epsilon>0\exists\delta>0\forall x'(|x-x'|<\delta\rightarrow|f(x)-f(x')|<\epsilon)$.

En 1961 Abraham Robinson encontró la manera de hacer de Cauchy definición precisa, de manera que podemos volver a definir la continuidad de una manera intuitiva a la de Cauchy, con algunos giros interesantes relacionados con el uniforme de la continuidad.