¿Propiedad de los primos / propiedad de otras secuencias?

Question

Conjetura

Si tenemos dos números primos consecutivos $p_{n}$ y $p_{n+1}$ y otro número primo arbitrario $p_a$ tal que $p_{n} < p_{n+1} < p^2_{a}$ , entonces se deduce que $p_{n+1} - p_{n} < p_{a}$ .

¿Se conocen contraejemplos o razones para que esto sea cierto?

¿Cómo se llama esta propiedad o una similar con respecto a las secuencias generales, (no necesariamente la secuencia de primos)?

Answer 1

Probablemente el único contraejemplo es (113, 127, 13), como señala Peter Košinár. Esta brecha sería mayor que la raíz cuadrada de $p_{n+1}$ y así es fácil comprobar que no hay ejemplos con $p_n<4\cdot10^{18}$ utilizando las tablas existentes de huecos primos máximos. Si hay otro ejemplo debe ser un hueco de al menos 46 millones de veces la longitud del hueco medio de a su tamaño.