El uso indebido de $\mathbf J^2$ en la clasificación de Poincaré reps

Question

$SO(1,3)$ tiene un número infinito de representaciones, clasificados por el Casimir invariante $p^2$.

$SO(3)$ también tiene un número infinito de representaciones, clasificados por el Casimir invariante $\mathbf J^2$.

Dado que las representaciones son diffeomorphic si y sólo si sus Casimir invariantes son los mismos, estamos justificados en este método de clasificación.

En el caso de $SO(3)$, la interpretación física es:

• $\mathbf J$ genera la rotación de la partícula del marco del resto.

• $\mathbf J^2$, el total de espín de una partícula, es la dimensión del espacio vectorial en el que hemos elegido para integrar la partícula.

Ahora estoy desconcertado por el hecho de que utilizamos $\mathbf J^2$, es decir, el total de spin, para clasificar a $SO(1,3)$. Ese es el mal de la Mentira de grupo! ¿No es esto absurdo?

$p^2$ es la correcta Casimir invariante - ¿qué pasó con eso?

• ¿Por qué no $p^2$ suficiente? - es un Casimir invariante, y por lo que nos debe dar toda la información de clasificación (es decir, nos dicen si las repeticiones son diffeomorphic)!

• Ahora, supongamos que tenemos de hacer las cosas correctamente (es decir, descartar $\mathbf J^2$) y el uso de $p^2$ a clasificar las representaciones.

  • Hay "fermiones" o "bosones" correspondiente a $m$ tomando en mitad o la totalidad valores enteros en este caso?

  • Finalmente, la representación de $m^2=3$ no es isomorfo a $m^2=\pi$ (debido a $p^2$ es un Casimir invariante). Mismo con $m^2=2$$m^2=2.00000001$. Sin embargo, en la mayoría de la teoría de campo de los libros de texto, $m>0$ es tratado como un caso. Es todo un blob. Qué?!!!

Answer 1

El grupo de Poincaré tiene dos Casimir Invariantes - es decir $p^2$ $W^2$ donde $$ W_\mu = \frac{1}{2} \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} J^{\nu\rho} p^\sigma $$ es la Pauli-Lubanski pseudo-vector. Por lo tanto, las representaciones del grupo de Lorentz son etiquetados por los autovalores de ambos $p^2$$W^2$.

1. Al $p^2 = -m^2$, tenemos la propiedad $W^2 = -m^2 {\bf J}^2$. Por lo tanto, masiva, los estados están representados por su masa, $m^2$ y su valor propio en ${\bf J}^2$ que por la teoría de la representación de $SO(3)$ $\hbar^2 s (s+1)$ $s$ media entero. Por lo tanto, todos masiva representaciones son etiquetados por $m^2$$s$. El spin $s$ representación es $2s+1$ dimensiones.

2. Al $p^2 = 0$, en general, existen dos posibilidades para $W_\mu$.

   • Al $\vec{W} \not\propto \vec{p}$, entonces se obtiene un infinito-dimensional de la representación que no se observa en la naturaleza (conocido como el continuo girar de las representaciones) y por tanto no se consideran en la física. Sin embargo, es precisamente en estas representaciones que dan lugar a la invariancia gauge en una teoría cuántica.

   • Al $\vec{W} \propto \vec{p}$, en coherencia con el de Poincaré álgebra implica que $\vec{W} = \vec{0}$ y el Casimiar invariante es, simplemente, $W^0 = \vec{J} \cdot \vec{P}$ (o más bien $(W^0)^2$). Masa estados son, por tanto, marcados por su valor propio en$h = \frac{\vec{J} \cdot \vec{P}}{P^0} $, lo que se conoce como la helicidad del estado.

En general, la masa de los estados están marcados por un único número $h$ y tienen una d.o.f. Sin embargo, en virtud de la paridad $h \to - h$. Así, en la teoría de la paridad de la invariancia, uno debe definir una partícula como un estado con $h \oplus -h$ de representación, dando así dos d.o.f. para cada partícula.