Creo que el producto directo de los
$\prod_{n \in {\bf N}\setminus \{0\}} {\bf Z}/(n)$
y la suma directa de
$\bigoplus_{n \in {\bf N} \setminus \{0\}} {\bf Z}/(n)$
son elementarily equivalente, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.
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user2318170
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A la pregunta del título es una aplicación fácil de compacidad. Deje $G$ ser una torsión de grupo que contiene los elementos de forma arbitraria pedido grande (su grupo de $\bigoplus_{n\in \mathbb{N}_+}\mathbb{Z}/(n)$ va a hacer muy bien). Deje $c$ ser una nueva constante de símbolos, y considerar la teoría de la $T' = \text{Th}(G)\cup \{n\cdot c \neq 0\mid n\in \mathbb{N}_+\}$ (donde $n\cdot c$ es una abreviatura para la suma de $n$ copias de $c$). Por compacidad, esta teoría tiene un modelo, que es un no-torsión grupo elementarily equivalente a $G$ (dado un subconjunto finito de $T'$, tome $G$ e interpretar $c$ como un elemento de gran suficientemente orden). [Acabo de ver Noé respuesta - nótese el paralelismo entre la compacidad argumento y la ultrapower argumento. Este es un patrón general.]
Pero el problema que se plantea en el cuerpo es más complicado. Sospecho que la suma directa es una primaria de la subestructura del contacto directo con el producto. Usted podría ser capaz de demostrar esto mediante la Tarski-Vaught de la prueba, junto con la eliminación de cuantificadores abajo positivas primitivas fórmulas para abelian grupos (ver Teorema 3.3.5 en Un Supuesto en el Modelo de la Teoría por la Tienda y Ziegler para el caso general de $R$-módulos, y tome $R = \mathbb{Z}$ a especializarse para abelian grupos).
ManuelSchneid3r
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Sí, una torsión de grupo puede de hecho ser elementarily equivalente a la de un no-torsión del grupo.
Podemos obtener una (un poco) explícita ejemplo, utilizando el siguiente hecho, junto con Łoś del teorema:
Si $G$ es la torsión, pero tiene elementos de arbitrariamente grande finito de orden, entonces cualquier trivial ultrapower $\mathbb{N}$ $G$ no es de torsión.
Prueba: supongamos $G$ es como el anterior, y $\mathcal{U}$ es un nonprincipal ultrafilter en $\mathbb{N}$. A continuación, vamos a $a_i\in G$ tienen orden de $>i$, y considerar el elemento $$\alpha=[(a_i)_{i\in\mathbb{N}}]_\mathcal{U}$$ of the ultrapower $\prod_{\mathbb{N}}G/\mathcal{U}$. For each $i$, the formula "$x$ has order $>i$" holds of cofinitely many $a_j$s (namely, each $a_j$ for $j\ge i$); since $\mathcal{U}$ is nonprincipal, every cofinite set is in $\mathcal{U}$, so $\alpha$ tiene orden infinito.
Como de costumbre, esta ultrapower argumento puede ser sustituido por un simple compacidad argumento - ver a Alex Kruckman la respuesta. Me dio la ultrapower construcción de arriba ya que creo que es genial.
Creo que, en particular, los grupos a los que usted menciona en su pregunta se elementarily equivalente, pero no la puedo ver de inmediato cómo demostrar que (sospecho que una prueba a través de Ehrenfeucht-Fraïssé juegos de no ser demasiado duro).
