Completura de la Normativa de los espacios.

Question

Yo quiero probar la siguiente proposición

Si $(X,||\cdot||)$ $(X,||\cdot||')$ son homeomórficos, a continuación, $(X,||\cdot||)$ es completo si y sólo si $(X,||\cdot||')$ es completa.

Así, sólo sé la definición de homeomórficos, y no puedo entender cómo sólo con que puedo demostrar que la proposición.Alguien me puede ayudar para demostrar esto, por favor?

Muchas gracias de antemano :)

Answer 1

Como un croquis$\ldots$

Bueno, si usted tiene una homeomorphism $f$, entonces si $\{x_n\}_{n \in \Bbb N}$ es de cauchy wrt $\|\cdot \|$, y converge a$x \in X$, $\|x_n-x\|<\delta$ $n$ lo suficientemente grande, y $\|x_n-x_m\|<\delta$ $n,m$ lo suficientemente grande. Desde $f$ es continua podemos hacer $\|f(x_n)-f(x_m)\|'<\epsilon$$\|x_n-x_m\|<\delta$, lo $\{f(x_n)\}_{n \in \Bbb N}$ es de cauchy. Ahora desde $f$ es continua en a $x$ también sabemos que $\|f(x_n)-f(x)\|'<\epsilon$$\|x_n-x_m\|<\delta$. Por lo $f(x_n)$ convergerán a $f(x)$. A continuación, para demostrar la otra manera, es hacer la misma cosa, excepto con $f^{-1}$, que es continuo desde $f$ es un homeomorphism.

Answer 2

Tomar una secuencia de Cauchy en $(X,||\cdot||)$ y demostrar que también es una secuencia de Cauchy en $(X,||\cdot||')$.

Esto demuestra que la afirmación de que desde la convergencia es una propiedad topológica que es preservada por homeomorphisms.

Answer 3

Desde $(X, ||\cdot || ) $ $ (X, ||\cdot ||' )$ son homeomórficos las topologías generados por estas normas son idénticas. Por lo tanto el mapa de identidad $\mbox{Id} :(X, ||\cdot || ) \to (X, ||\cdot ||' )$ es continiuous así que las normas son equivalentes. Y a partir de la equivalencia de las normas fácilmente de la siguiente manera su afirmación.