Que me ayude a entender límite de términos en las acciones más triviales colectores

Question

Así que tengo este colector $M$, junto con una métrica $g_{\mu\nu}(x)$ y métrica compatible con la derivada covariante $\nabla_\mu$ (que no es necesariamente la correspondiente a la de Levi-Civita de conexión).

Cuando se trabaja con el principio de la acción, podemos ignorar el límite de términos. Mi pregunta es, cual de los siguientes es un término? Deje $g(x) = \mathrm{det}(g_{\mu\nu}(x))$.

$$\int_M \partial_\mu A^\mu \sqrt{|g(x)|} \, \mathrm{d} x$$ o $$\int_M \nabla_\mu A^\mu \sqrt{|g(x)|} \, \mathrm{d} x \ ?$$ (O ambos o ninguno? Tal vez la última, pero sólo cuando se $\nabla$ es Levi-Civita?)

Supongo que mi pregunta se reduce a, ¿cómo es que el teorema de Stokes trabajo para general covariante derivados, y con la natural del elemento de volumen $\sqrt{|g(x)|} \, \mathrm{d} x$?

Answer 1

La segunda expresión debe ser la correcta. El teorema de Stokes per se no "sabe" acerca de covariante derivados. Sin embargo, las formas diferenciales tienen ciertas propiedades de transformación en virtud de los cambios de coordenadas locales. Para obtener el límite de plazo, usted necesita un exacto $n$-bajo el signo integral, y $\left(\partial_\mu A^\mu\right) \sqrt{|g(x)|}$ simplemente no transformar la manera correcta (suponiendo que $A_\mu$ son componentes de un vector de campo), así que en el primer caso la expresión bajo el signo integral no puede ser exacto $n$-forma, mientras que en el segundo caso es si $\nabla$ es la de Levi-Civita de conexión para $g$, y es que.

Es decir, en el segundo caso, la integral puede (hasta un innecesarias factor constante) puede reescribirse como $$\int_M \partial_\mu \left(\sqrt{|g(x)|} A^\mu\right) \mathrm{d} x,$$ y se puede usar el teorema de Stokes.

Advertencia importante: Si $\nabla$ es totalmente genérico de conexión en lugar de la de Levi-Civita de conexión, nuestra $n$-formulario no es exacto, y el argumento falla porque el teorema de Stokes no se aplica más.

Ahora, si $\nabla$ es compatible con $g$ ${}^g\nabla$ es la de Levi-Civita de conexión para$g$, $\nabla g$=0 y se puede demostrar que existe una (1,2)-tensor de campo $T$ tal que $$\nabla={}^g\nabla+T.$$.

En particular, se ha $$\nabla_\mu A^\mu={}^g\nabla_\mu A^\mu+T_{\rho\nu}^\nu A^\rho.$$

Mientras que ${}^g\nabla_\mu A^\mu$ es proporcional a $\partial_\mu \left(\sqrt{|g(x)|} A^\mu\right)$, y podemos aplicar el teorema de Stokes para ver que la contribución de este término a la integral se desvanece, obtenemos $$\int_M \nabla_\mu A^\mu \sqrt{|g(x)|} \mathrm{d} x=\int_M T_{\rho\nu}^\nu A^\rho \sqrt{|g(x)|} \mathrm{d} x.$$

Sin embargo, la algebraicas condiciones en $T$ que se siguen de la compatibilidad de $\nabla$ con la métrica $g$ parece dar $T_{\rho\nu}^\nu=0$ (no tienen tiempo para escribir esto en detalle, lo siento), por lo que la integral anterior se desvanece y los argumentos anteriores, el trabajo, incluso si $\nabla$ es compatible con $g$. Disculpas por no señalar esto en la versión anterior de mi respuesta.

Answer 2

Vale la pena reiterar que sólo hay un teorema de Stokes, de modo que una integral es un "término de" si y sólo si puede ser escrito en el local de coordenadas como $\int \partial_\mu(B^\mu)\,dx$. Si hay algún factor externo a la derivada parcial, entonces el teorema de Stokes no se puede aplicar.

Por lo que el determinante de la métrica debe estar en el interior de la derivada parcial. Al ampliar la derivada, símbolos de Christoffel aparecer, permitiendo que el integrando debe ser escrito en términos de la conexión en su lugar.