nombrar esta construcción categórica "híbrida"

Question

He encontrado una construcción categórica general con la que no estoy familiarizado.

Supongamos que tenemos el cuadrado mostrado, con categorías $A$ , $B_i$ , $C$ y los funtores $F_i$ y $G_i$ tal que el diagrama conmuta ( $G_0 F_0 = G_1 F_1$ ), y que $A$ es discreto en el sentido de que sólo tiene los morfismos de identidad.

$$ \begin{array}{rcccl} A & {} & \xrightarrow{F_0} & {} & B_0 \\ {} & {} & {} & {} & {} \\ {\scriptstyle F_1}\downarrow & {} & {} & {} & \downarrow{\scriptstyle G_0} \\ {} & {} & {} & {} & {} \\ B_1 & {} & \xrightarrow{G_1} & {} & C \\ \end{array} $$

Entonces defina $A^*$ como sigue: los objetos de $A^*$ son los mismos que los objetos de $A$ ; un morfismo $m \in A^*(X, Y)$ es un par $(m_0, m_1)$ tal que $m_i \in B_i(F_i(X), F_i(Y))$ y $G_0(m_0) = G_1(m_1)$ . Creo que esto hace que $A^*$ una categoría con funtores obvios $A \to A^*$ , $A^* \to B_i$ haciendo que todo el diagrama se conmute.

$$ \begin{array}{rcccl} A & {} & \xrightarrow{F_0} & {} & B_0 \\ {} & \searrow & {} & \nearrow & {} \\ {\scriptstyle F_1}\downarrow & {} & A^* & {} & \downarrow{\scriptstyle G_0} \\ {} & \swarrow & {} & {} & {} \\ B_1 & {} & \xrightarrow{G_1} & {} & C \\ \end{array} $$

Por ejemplo, supongamos que $A$ es la categoría discreta $\operatorname{Top}_{\operatorname{dis}}$ de espacios topológicos con morfismos de identidad, $B_0$ es la categoría habitual $\operatorname{Top}$ , $B_1$ es la categoría $\operatorname{Set}_{\operatorname{inj}}$ de conjuntos con mapas inyectivos entre ellos, y $C$ es la categoría habitual $\operatorname{Set}$ . Los funtores son todas las inclusiones/olvidos obvios. Entonces $A^*$ es la categoría de espacios topológicos con mapas continuos inyectivos entre ellos. Es una especie de híbrido entre $\operatorname{Top}$ y $\operatorname{Set}_{\operatorname{inj}}$ .

$$ \begin{array}{rcccl} \operatorname{Top}_{\operatorname{dis}} & {} & \xrightarrow{} & {} & \operatorname{Top} \\ {} & \searrow & {} & \nearrow & {} \\ {}\downarrow & {} & A^* & {} & \downarrow{} \\ {} & \swarrow & {} & {} & {} \\ \operatorname{Set}_{\operatorname{inj}} & {} & \xrightarrow{} & {} & \operatorname{Set} \\ \end{array} $$

Preguntas

• ¿Funciona todo esto?
• ¿Es una construcción conocida? En particular, ¿tiene alguna propiedad universal agradable?

Answer 1

Aquí hay una construcción mejor, a saber, la retroceso que no menciona $A$ (que no hace ningún trabajo en su ejemplo): los objetos son pares $(c_0, c_1)$ donde $c_i \in \text{Ob}(B_i)$ tal que $G_0(c_0) = G_1(c_1)$ . Los morfismos $(c_0, c_1) \to (d_0, d_1)$ son pares $(f_0, f_1)$ donde $f_i \in \text{Hom}(c_i, d_i)$ tal que $G_0(f_0) = G_1(f_1)$ (nótese que para establecer esta condición necesitamos primero la correspondiente a los objetos).

En tu ejemplo, una vez que has elegido un espacio topológico $c_0$ entonces $c_1$ se limita a ser el conjunto subyacente de $c_0$ por lo que no ha visto el comportamiento interesante en los objetos. Pero en general esta construcción se comporta de manera interesante en los objetos también.

Sin embargo, tiene un inconveniente importante: no es invariable bajo la equivalencia de (diagramas de) categorías. Es decir, depende realmente de los (diagramas de) categorías hasta isomorfismo en lugar de la equivalencia, que es generalmente una mala señal en la teoría de las categorías. Hay una construcción mejor que sustituye la igualdad $G_0(c_0) = G_1(c_1)$ con un isomorfismo llamado pullback de homotopía . También hay una versión laxa que sustituye la igualdad por un morfismo, no necesariamente un isomorfismo, que supongo que debería llamarse el 2-pullback laxo o algo así, pero que se llama más convencionalmente el categoría de comas .

Answer 2

$A^*$ es el functor pullback (gracias a los que respondieron arriba) combinado con la "imagen inversa de un functor" descrita en mi otra pregunta aquí . Podemos obtener el pullback $P$ entonces su propiedad universal nos da un functor $F: A \to P$ con un diagrama conmutativo. Entonces, en la notación de esa otra pregunta, podemos factorizar $F$ en $A \to F^{-1}(P) \to P$ y tomar $A^* = F^{-1}(P)$ .

Todavía no estoy seguro de que esto sea útil. Tengo que pensar un poco más en el principio de invarianza de equivalencia que los encuestados han mencionado.