Ejemplos de algebro-geométrica de los módulos problemas sin un "natural" elección de retroceso?

Question

Cuando trato de aprender acerca de las pilas, algo que se menciona en todo el lugar (como una razón para no definir módulos de problemas como functors de los esquemas de groupoids) es el hecho de que la retirada de una familia a lo largo de una de morfismos de esquemas no está bien definido, pero sólo está definido hasta un único isomorfismo.

1) Es el fibrado producto de dos mapas de esquemas bien definidos? El producto tensor de dos anillos es, sin duda bien definido, pero tal vez esto significa que el fibrado producto sólo está bien definido después de hacer una elección de los afín a abrir? O es que la opción no funciona con la composición por $(A\otimes_RB)\otimes_RC$ es sólo canónicamente isomorfo a $A\otimes_R(B\otimes_RC)$?

2) Si la respuesta a la pregunta anterior es sí, ¿cuál es un ejemplo de un "geométrica" de los módulos problema donde no hay elección obvia de la retirada de las familias? Estoy familiarizado con un ejemplo de http://people.brandeis.edu/~tbl/menor-tesis.pdf, en el que una selección de pullback corresponde a una división de algún mapa de los grupos. Pero no puedo ver un camino para la construcción de un ejemplo como este, donde los objetos considerados como "familias de los objetos geométricos."

Answer 1

1) No es una construcción global de la fibra de producto de los sistemas que no depende afín cubre y realmente funciona también localmente anillado espacios; véase mi respuesta aquí. Creo que en todos los ejemplos en la práctica habrá construcciones específicas de objetos universales (tales como los productos de fibra) y no hay ningún problema para definir como functors. Si uno no se quiere arreglar una versión, pero como todos ellos, uno podría utilizar anafunctors. En cualquier caso, realmente no importa en absoluto, ya universal objetos son únicos hasta un único isomorfismo (sujeto a condiciones de compatibilidad). Uno siempre debe recordar que universal objetos pueden tener muchas construcciones (véase aquí para una construcción del producto tensor de módulos que no uso libre de los módulos), pero en el fin realmente no importa cual elegimos. De hecho podemos olvidar el conjunto de la construcción y el uso sólo de la universal de los bienes.

2) yo no soy un experto, pero dudo que haya alguna geométricas ejemplos. Por cierto, en mi investigación he trabajado siempre con (algebraica) las pilas como $2$-functors $\mathsf{Sch}^{op} \to \mathsf{Gpd}$, y aunque esto puede ser un poco ingenuo, funcionó bien hasta ahora ;).