Espacio de estructuras lisas

Question

¿Existe un espacio de estructuras lisas en una variedad, análogo al espacio de moduli de estructuras complejas en una variedad? En caso afirmativo, ¿cuál es la topología natural?

Además, no entiendo muy bien por qué las estructuras lisas suelen formar un espacio discreto; por ejemplo, hay un número finito de estructuras lisas sobre esferas. Creo que una posible excepción es que $\mathbb{R}^4$ admite un continuo de estructuras lisas pero creo que esto es con alguna topología inusual. Intuitivamente esto se debe a que si deformamos una estructura lisa, estamos deformando "suavemente" por lo que podemos deshacer esta deformación usando un difeomorfismo y por lo tanto las estructuras lisas que son equivalentes en deformación son difeomorfas. Del mismo modo, podemos deformar estructuras complejas utilizando difeomorfismos, pero entonces las estructuras complejas cercanas no están conectadas por biholomorfismo sino por difeomorfismo y, por tanto, son diferentes en el espacio de moduli. Sería estupendo que alguien pudiera hacer riguroso este argumento.

Otra pregunta relacionada: ¿es cierto que cualquier espacio topológico compacto admite como máximo un número finito de estructuras lisas? (hasta el homeomorfismo del espacio topológico). Esto es cierto para las esferas. No es cierto para $\mathbb{R}^4$ que no es compacto.

Answer 1

Permítame responder a su última pregunta.

Teorema. (Kirby, Siebenmann) Let $M^n$ sea una $n$ -donde $n\ge 5$ . Entonces el conjunto de clases de isomorfismo de estructuras lisas sobre $M$ es finito.

Puedes extraer esto de su Teorema de clasificación, página 155 del Ensayo IV de su libro "Foundational essays on topological manifolds", smoothings and triangulations", vol. 88 de Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, 1977.

La razón básica de la finitud es que (según su teorema de clasificación) las clases de isotopía de estructuras lisas sobre $M$ están en correspondencia biyectiva con clases de homotopía verticales de secciones de un determinado haz $E\to M$ y los grupos homotópicos de la fibra de este haz son todos finitos. (Esto último se debe a la finitud del grupo de estructuras suaves en $S^n$ con fijo $n$ , lo que fue demostrado por Keraire y Milnor).

En dimensiones $\le 3$ toda variedad topológica (compacta o no) tiene una estructura lisa única (hasta la isotopía).

Nadie sabe qué ocurre en la dimensión 4. Hay ejemplos de 4-manifolds cerrados que soportan infinitas estructuras lisas no difeomorfas (R. Friedman y J. Morgan, On the diffeomorphism types of certain algebraic surfaces, I and II, J. Diff. Geom. 27 (1988), 297-398). Es concebible que éste sea el caso para todos 4manifolds cerrados. Se sabe (de nuevo Kirby y Siebenmann) que en dimensión 4 la categoría PL es isomorfa a la categoría DIFF (todo múltiple PL admite un liso y este último es único). De esto se deduce fácilmente que cada 4manifold cerrado tiene a lo sumo un número contable de estructuras lisas.

Edición 1. Una prueba directa del hecho de que sólo hay un número contable de clases de difeomorfismo de variedades compactas lisas es un corolario de

S. Peters, Teorema de finitud de Cheeger para clases de difeomorfismo de variedades riemannianas Journal of Pure and Applied Mathematics 349 (1984) p. 77-82.

Concretamente, ofrece una demostración diferencial-geométrica autocontenida del teorema de Cheeger según el cual dado $n$ , $D$ , $V$ y $K$ sólo hay un número finito de clases de difeomorfismo de Riemann. $n$ -de volumen $\ge V$ diámetro $\le D$ y la curvatura seccional en el intervalo $[-K, K]$ . (La prueba original de Cheeger utilizaba resultados de Kirby y Siebenmann.) Ahora, tomemos $D$ y $K$ como números naturales y $V$ ser de la forma $1/N$ donde $N$ es un número natural. Como dije en mis comentarios, la prueba es bastante dolorosa y es necesario conocer algo de geometría riemanniana básica (digamos, los 5 primeros capítulos de "Riemannian Geometry" de do Carmo) para apreciar la prueba. Por supuesto, sigue siendo mucho más fácil que leer a Kirby y Siebenmann. Si realmente te decides a entender su demostración, puedes hacerlo en menos de dos meses (empezando por la definición de una variedad lisa). En cambio, es probable que nunca llegues a entender ninguna demostración de Kirby-Siebenmann.

Edita 2. He aquí una posible topología sobre el espacio de (clases de isomorfismo de ) estructuras lisas sobre un $m$ -de dimensiones compactas $M$ que se inspira en la demostración del teorema de Cheeger. Fijar un atlas liso finito para una estructura lisa $s$ sur $M$ . Este atlas determina (y está determinado por) una colección de sus mapas de transición, que son difeomorfismos entre subconjuntos abiertos acotados de $R^m$ , $f_{ij}: U_{ij}\to V_{ij}$ . Entonces se declara un $\epsilon$ -vecindad de $s$ para consistir en aquellas estructuras lisas $s'$ sur $M$ que admiten un atlas finito con la conexión de mapas de transición $f'_{ij}: U'_{ij}\to V'_{ij}$ tal que:

1. Los dominios $U_{ij}, U'_{ij}$ están dentro $\epsilon$ -Distancia de Hausdorff entre sí.

Establecer $U''_{ij}:= U_{ij}\cap U'_{ij}$ .

2. En $C^1$ -distancia uniforme entre los mapas $f_{ij}|U''_{ij}, f'_{ij}|U''_{ij}$ es $<\epsilon$ .

Hay que comprobar que esto define una base de topología (parece correcto). Creo que esta topología será discreta porque un mapa suave entre variedades cerradas (suficientemente) $C^1$ -cercano a un difeomorfismo es un difeomorfismo. Sin embargo, no quiero hacer ninguna de estas cosas.