Ejercicio en Rudin sobre $R^2$ medibles

Question

Estoy pensando en ejercicio 9 en Rudin Real y Complejo Análisis del capítulo 8:

$E$ es denso en $\mathbb{R}^1$ $f$ es una función real en $\mathbb{R}^2$ tal forma que:

(a) $f_x$ es Lebesgue medible para cada una de las $x\in E$;

(b) $f^y$ es continua para casi todos los $y\in \mathbb{R}^1$.

Demostrar que $f$ $\mathbb{R}^2$ Lebesgue medibles.

Mi idea es construir una secuencia $\{f_n\}_n$ a un enfoque de $f$ igual que el ejercicio anterior, pero no. Quién puede darle algunos consejos para este problema? Cualquier sugerencia se agradece.

Gracias a todos ustedes!

Answer 1

Tome estos consejos de una en una, ya que la lectura de todos ellos prácticamente se regala.

Sugerencia 1: Desde $f^y$ es continua para casi todos los $y \in R$, entonces para $Y = \{ y : f^y \text{ continuous} \}$, $m(R - Y) = 0$. Definir $g = f \vert_{R \times Y}$, y es fácil ver que $m(f > a) = m(g > a)$ desde $m(R - Y) = 0$. Así, ahora nos limitamos a $g$.

Sugerencia 2: El punto de sabio límite de Lebesgue mbl. funciones Lebesgue mbl.

Todavía perdido? El último que le ayudará a construir las funciones de $g^{(\epsilon)}$ cuyo punto de sabio límite es $g$.

Sugerencia 3: Para $\epsilon > 0$, definir a la mitad el intervalo de abrir $I_z = [z \epsilon, (z+1) \epsilon)$. Estas abierto a mitad de los intervalos de cubierta $R$. Por la densidad de $E$, sabemos que hay un punto de $x_z \in E \cap I_z$. Ahora generar una función $g^{(\epsilon)}$ cuyo valor de (x, y) es dependiente de $(x_z, y)$. Demostrar $g^{(\epsilon)}$ es Lebesgue mbl.