Tratando de recordar mis fórmulas de la escuela secundaria, y viniendo en seco.
Digamos que tengo dos opciones: $A$ y $B$ .
$P(A) = 0.25$ ; $P(B) = 0.75$
No hay probabilidades condicionales ni nada parecido. Cada elección es independiente de la anterior.
¿Cómo puedo calcular la probabilidad de que elija A exactamente dos veces, habiendo elegido diez elementos?
Se quiere elegir A dos veces y B ocho veces, por lo que la probabilidad de hacerlo en un determinado orden es $P(A)^2P(B)^8$ . Pero para ti, el orden no importa, así que tienes que dividir por el número de formas de elegir dos cosas de 10. Esto es $\binom{10}{2}=\frac{10!}{8!2!}=45$ . Así que, en general, se obtiene $\frac{(45)3^8}{4^{10}}$ que puedes calcular tú mismo.
En general, la fórmula de $\binom{n}{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}$ donde el signo de exclamación significa "factorial". $n!=n\times(n-1)\times\dotsb\times 2\times 1$ . Desde $n!$ representa el número de arreglos de $n$ cosas, puedes interpretar esta fórmula como si te diera el número de arreglos de tu $n$ cosas, y luego anulando las formas en que se puede arreglar el $r$ cosas que quieres, y el $n-r$ cosas que no quieres.
Se desea la distribución binomial con $p = 0.25$ y $n = 10$ y $k = 2$ .
Véase el artículo de Wikipedia sobre el distribución binomial que dice,
"La probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos en $n$ ensayos [cuando cada ensayo tiene probabilidad de éxito $p$ ] está dada por ...
$$ \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}."$$
La respuesta de Paul VanKoughnett explica por qué esta fórmula es correcta.
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