Sobre el ejercicio común de usar el Teorema de Weierstrass

Question

Un ejercicio común utilizando el Teorema de Weierstrass es:

Si una función continua $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ satisface:

$$\int _{[0,1]}x^kf(x)dx=0$$

para todos los $k \in \mathbb{N}$, $f\equiv 0$

Esto implica que una función continua $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ puede ser "incrustado" en el espacio de secuencias de números reales (es decir, para cada una de las $f$, definir la secuencia de $c_k:=\int _{[0,1]}x^kf(x)dx$). Esto es porque si $c_k=d_k$ por cada $k$,$f-g\equiv 0$.

Este huelgas para mí como un análogo para la Riesz-Fischer Teorema. ¿Hay alguna teoría acerca de esto, o es que en realidad sólo un ejercicio común?

Answer 1

Creo que usted está buscando de la manera equivocada. Realmente lo que está pasando es que el espacio de polinomios es denso en el espacio de funciones continuas wrt el supremum de la norma, mientras que el espacio de funciones continuas es denso en $L^2 ([0,1])$ respecto de la $L^2$ norma. Desde convergencia uniforme implica la convergencia en $L^2$ en un número finito de medir el espacio, se deduce que los polinomios son densos en $L^2([0,1]) $. Ahora en un espacio de Hilbert, si algo es ortogonal a un denso conjunto, entonces es cero, de modo que cualquier $f $ debe ser cero.e. Por último, una función continua que es un cero.e. debe ser idéntica a cero.