Le pregunté a mi maestro si un número puede tener un número infinito de dígitos antes del punto decimal. Él dijo que esto no es posible, a pesar de que hay números con un número infinito de dígitos después del punto decimal. Le pregunté por qué y me dijo que si usted mantenga la adición de dígitos a la izquierda de un número eventualmente enfoque infinito que no es un número y no se podía distinguir dos números uno del otro. Ahora esta es la parte de su razonamiento no entiendo: ¿por qué podemos distinguir dos números con un número infinito de dígitos después del punto, pero no antes? O es que hay una simple explicación para esto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La manera formal de entender esto es, por supuesto, utilizando la definición de los números reales. Un número real es "permitido" tener infinita de dígitos después del punto decimal, pero sólo un número finito de dígitos antes. (http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number)
(si te interesa, hay números que tienen infinitos dígitos antes del punto decimal, y sólo un número finito después. Echa un vistazo a http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number . sólo para tener un poco de diversión, saber que los $10$-ádico de expansión de $-1$ es $\color{red}{\dots 99999} = -1$)
Si usted quiere conseguir algunos intuición acerca de esto, lo primero que piensa que, como su maestro dijo, dijo que el número de enfoque infinito, que no es un número real. Esta es la razón suficiente.
Acerca de la comparación de dos números de parte: si te doy $$1234.983...$$ y $$1234.981...$$ usted sabe que uno es más grande, no importa lo que los otros dígitos.
Pero con $$...321.99$$, $$...221.99$$ no, porque la información se basa en la "primera" dígito. Por supuesto, nadie sabe lo que el primer dígito es, puesto que no es el primer dígito.
Pero como he dicho antes, esto es para ganar algo de intuición; la manera correcta de pensar acerca de esto es usando la definición (que no es trivial)
Mathmo123
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La respuesta corta a tu pregunta es que, por definición, solo se permiten números reales para tener un número finito de dígitos antes del punto decimal. Hay muy buenas razones para ello:
Formalmente, podemos pensar en un número como una secuencia finita de dígitos $x_0,\ x_1, \ \ldots , x_N$, donde la cantidad de $x$ es igual a $$x=\sum_{n=0}^Nx_n10^n$$
Por ejemplo, la cantidad de $126 = 6 + 2\times 10 + 1 \times 100$.
Inherentemente no hay ninguna razón para limitarnos a lo finito secuencias de dígitos. Dada una secuencia infinita, podríamos definir un "número" como es arriba y podríamos diferenciar entre dos números diciendo que ellos son distintos si difieren en al menos un dígito.
Los problemas empiezan a llegar cuando se trate de hacer operaciones aritméticas. Considerar el "número" $\ldots 99999$ compone de una infinidad de $9$'s. Si se trata de un número, debemos ser capaces de sumar y restar como normal. Pero, ¿qué ocurre cuando tratamos de agregar $1$ a este número?
$$\begin{array}[t]{r} \ldots 9\ 9\ 9\ 9\ 9\ 9\ 9\\ + \qquad\qquad \ \ \ \ 1 \\ \hline \ldots0\ 0 \ 0\ 0\ 0\ 0\ 0 \end{array}$$
En cada etapa, nos dan $10$ y llevar un $1$, pero esto sucede en cada etapa, y nunca se detiene. En otras palabras, la adición de $1$ a este número nos da $0$ - no especialmente coherente con lo que debemos esperar de nuestro sistema de numeración.
O tener en cuenta el "número" $\ldots 11111.1111\ldots$ compone de una infinidad de $1$'s antes y después del punto decimal. ¿Qué sucede cuando multiplicamos este número por $10$? Tenemos exactamente el mismo número, lo que significa que este número y otros como sería soluciones de la ecuación $10x = x$. Pero en nuestro sistema de numeración, nos gustaría $0$ a ser la única solución a esta ecuación.
Que es posible crear un coherente sistema de numeración donde nos permiten aritmética como este, pero sería completamente diferente de nuestro propio sistema de numeración.
GmonC
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Para el común de los números enteros, sólo puede haber un número infinito de dígitos a la izquierda del punto decimal si hay sólo un número finito distinto de cero dígitos entre ellos, en otras palabras, si hay un punto a la izquierda de la que sólo hay cero dígitos. Normalmente uno no escribe los dígitos por razones que son fáciles de imaginar.
La razón de esto es así es porque los números no son cadenas de dígitos, sólo están indicados por las cadenas de dígitos. Esto se parece mucho a mi nombre no ser la misma cosa como soy, pero solo se usa para designar a mí. Es un poco más difícil de imaginar, ya que mientras que usted puede ver a mí (o puede que si estuvieran en la misma habitación como yo) y ver la diferencia con mi nombre, no puede ver el número designado por $421.94$, ya que es un resumen de la cantidad. Usted puede imagen, sin embargo, dos de los segmentos de línea de los cuales uno es exactamente $421.94$ veces tan largo como los otros, y dicen que $421.94$ es el (resumen) la proporción de los dos longitudes, y usted podría estar de acuerdo en que esto tiene un significado muy independiente y diferente de los glifos en "421.94". (Por la forma de estas relaciones es como la de los antiguos Griegos pensaban acerca de la naturaleza de los números.) Los números son cosas que existen en nuestra mente, independientemente de cómo se representan a ellos (o de la cuestión de si podemos representarlos a todos, si son lo suficientemente imaginativo).
Uno puede imaginar muy bien dígitos yendo para siempre a la izquierda como a la derecha (y el asunto es que me los imagino a ser apiladas en una infinidad de filas en el avión), pero sólo podemos decir que una cadena de dígitos que representa un número, si corresponde de acuerdo a una determinada convención a un número. Como hay sólo un número finito de dígitos, la convención (por el número decimal del sistema) es que de acuerdo a su posición de cada dígito es multiplicado por una cierta potencia de diez, y todos los valores se suman para obtener nuestro número. La adición de un número finito de números es algo de lo que nos imaginamos siempre que sea posible, y siempre devuelve un número.
Sin embargo, la adición de un número infinito de números juntos es algo que no podemos imaginar siempre que sea posible, al menos no si nos preocupamos por preservar la hermosa propiedades que los números tienen. Imaginar la suma de un número infinito de copias de la cantidad de $1$. Si se llegara a dar un número como resultado (es posible que desee llamar "$\infty$"), entonces uno también podría pedir para calcular $1+\infty$. En la mano que todavía sería sumar una infinidad de copias de la cantidad de $1$, por lo que debe dar $\infty$, pero por otro lado la adición de $1$ a un número siempre debe producir un número diferente (la diferencia entre el nuevo y el antiguo número debe ser$~1$,$~0$). Como consecuencia de dichas observaciones simples, no se puede considerar que en general la adición de hasta un número infinito de números da un resultado que es un número. (Diciendo que el resultado "es infinitamente grande" es sólo una forma de discurso, y no es un número).
Ahora, en ciertos casos especiales que uno puede estar de acuerdo que la adición de hasta un número infinito de términos le da un cierto número como resultado. Un poco aburrido ejemplo de esto es cuando todos los términos excepto en un número finito son cero; en este caso uno puede estar de acuerdo que el (finito) de la suma del valor distinto de cero términos también se da la suma de todos los términos (por la definición de este último). Esta es la razón por la que me dijo que uno se puede permitir que un número infinito de dígitos $0$ ir a la izquierda (o a la derecha para que la materia).
Otro caso que generalmente se considera un bien definidos resultado es, cuando las condiciones son todos positivos (o cero), pero se hacen más pequeños y más pequeños, de tal manera que existe un umbral que ninguno de los resultados de la adición de un número finito de términos pasa de este umbral. En este caso nos imaginamos que hay una más pequeña posible umbral, uno que nunca pasó, pero de tal manera que cualquier menor umbral va a ser en última instancia, pasaron por algunos finito suma de los términos. Me dijo que aquí "imaginar", porque uno necesita inventar los números reales específicamente para este propósito: si, por ejemplo, todos nuestros términos son números racionales, para el que hemos fracciones para expresar con precisión, entonces todos finito de sumas serán también los números racionales, pero el más pequeño umbral podría no ser igual a cualquier número racional. Sin embargo, los números reales son, por diseño, de tal manera que cada vez que cualquier umbral existe para el finito de sumas, existe un (único) número real que es el más pequeño de umbral, este número es entonces definida como la suma de la secuencia infinita de términos.
Si en términos negativos están permitidas las cosas se ponen un poco más complicadas, pero todavía hay ciertos casos en los que el finito de sumas que finalmente confinado en más y más pequeños intervalos, y se dice que tienden a un límite; esta condición se define "convergente" infinitas sumas de términos, y estos son los únicos infinito sumatorias que, convencionalmente, designar un número (es decir, que el límite). Todos los demás sumatorias se dice que los "divergentes", y no hay ningún valor en absoluto se atribuye a la adición de sus términos. $1+1+1+\cdots$ es un típico divergentes de totalización.
Ahora usted puede imaginar que, sumando cada vez mayor poder de $10$, cada uno multiplicado por un dígito distinto de cero, es incluso peor que la de hacer $1+1+1+\cdots$; la suma se bifurca y no produce ningún número. Sin embargo cuando se toma cada vez más pequeños poderes de$~10$, es fácil encontrar un umbral para el finito de sumas de dinero; de hecho detener en cualquier plazo, y teniendo el finito suma obtenida después de la adición de $1$ para el dígito final, siempre produce umbral válido para todos finito de sumas de los términos originales. Esta es la razón por la infinita progresiones de decimales después del punto decimal siempre designar un número real. (No definir un número real, tal como existía en forma independiente, y mucho menos es cierto que ellos son números reales; en particular, puede suceder que dos diferentes progresiones de decimales designar el mismo número real, lo que confunde a las personas que piensan de los números como se progresiones de decimales mucho.)
Yo podría añadir, si esto le interesa, que otros sistemas de numeración de los números reales existen, y que las otras nociones de convergencia de las sumas pueden ser propuestos (no se basa en conseguir que "nunca más" a un límite en el sentido usual de la palabra). En uno de esos sistemas de numeración, los $10$-ádico enteros, filas infinitas de números decimales a la izquierda (pero no a la derecha!) ¿ definir convergente suma, y, por tanto, designar un número. Estos números, sin embargo no se tienen los propreties de los números; en particular, no existe la noción de "menor que" y "mayor que" entre los $10$-ádico enteros. Puede usted ver por qué eso sería una cosa difícil de definir para los números cuya dígitos correr a la izquierda?
Jay
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Usted no puede tener un número infinito de dígitos antes del punto decimal porque la serie geométrica $$\sum_{n=0}^\infty ar^n$$ sólo converge cuando $|r| < 1$. Así que usted puede tener un número infinito de dígitos después del punto decimal, debido a que la adición de algo de la forma $$\sum_{n=1}^\infty a_n(\frac{1}{10})^n \le \sum_{n=1}^\infty 9(\frac{1}{10})^n$$ que converge porque $|\frac{1}{10}| < 1$, pero tener un número infinito de términos antes de la coma decimal es de la forma $$\sum_{n=0}^\infty a_n(10)^n \ge \sum_{n=0}^\infty 10^n$$ que no convergen (incluso si algunos $a_n = 0$ se puede comparar a $10^n$, con el siguiente término distinto de cero que es más grande).
Asimov
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$$1/3=0.33333333333333333333333333...$$ $$1/9=0.11111111111111111111111111...$$ Estos dos números son obviamente diferentes.
Ahora, imagínese si usted
$$1+10+100+1000+10000...$$
y $$3+30+300+3000+30000...$$
Tanto de los primeros en tener un número infinito de dígitos después del decimal, pero que todavía puede ser representado como número 1 (1/3 y 1/9)
Tanto de los que más tarde tienen un número infinito de dígitos antes del punto decimal, pero en realidad no puede ser diferenciadas. Usted puede decir, "pero la segunda es, obviamente, tres veces más grande!", pero para cada término en la segunda secuencia, hay términos en la primera secuencia más grande que él. La razón de esto es que no puedes comparar los números es que ellos no son los números. Los números no pueden ser infinito, el estudio de los infinitos es independiente de los números por esa misma razón.
