Mostrar que $f(x) = \cos(2x)$ es uniformemente continua en a $[0,\infty)$

Question

Deje $f: [0,\infty) \to \mathbb{R}$ y deje $f(x) = \cos(2x)$. Mostrar que $f(x)$ es uniformemente continua en a $[0,\infty)$

Mt intento:

Tenemos, $\forall \epsilon >0, \exists \delta > 0, s.t.\mid x-y \mid < \delta \implies | f(x) - f(y) |=|\cos(2x) - \cos(2y)|=| -2\sin(x-y)\sin(x+y)| \leq 2|\sin(x-y)|\leq 2| x-y|$

Ahora, desde la $|x-y| \leq \delta, 2| x-y| <2\delta,$ $$2| \sin(x-y)| <2\delta.$$ Let, $\delta = \frac{\epsilon}{2} \Rightarrow 2|\sin(x-y)|<2\delta=\epsilon$

Estoy en el camino correcto? El único lugar en el que estoy confundido aquí es el dominio. ¿Cuál es el propósito de definir esta de $[0,\infty) \to \mathbb{R}$? Todo lo que hice aquí es, por manipular la identidad trigonométrica. No entiendo ¿dónde puedo usar el dominio en este caso? Si esta es continua en a $[0,\infty)$, entonces no es continua en toda la $\mathbb{R}$? O, tendría que ser diferente? O, tal vez estoy haciendo mal, soy yo? Sólo estoy todo confundido con la parte del dominio. cualquier información sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

La función de Lipschitz y, por tanto, uniformemente continua en todos los de $\Bbb R$. Dado $x,y \in \Bbb R$, por el Valor medio Teorema existe $z$ $x$ $y$ tal que: $$|\cos(2x)-\cos(2y)| = |2\sin(2z)||x-y| \leq 2|x-y|,$$since $\el pecado$ is a bounded function. Given $\epsilon > 0$, $\delta = \epsilon/2> 0$ will always work. The requirement of the domain being $[0,+\infty[$ instead of $\Bbb R$ es superfluo...