Representación de la función delta de dirac

Question

Puede $ \delta (x-x') \cdot e^{k(x-x') } $ equivalente a $ \delta(x-x') $ en el sentido generalizado de la función de identidad?

Como $ \int_{i=-\infty}^\infty \delta (x-x') e^{k(x-x')} G(x) ~dx= \int_{i=-\infty}^\infty \delta(x-x') G(x)~dx = G(x') $ .

Answer 1

Como distribuciones, $d_1=d_2$ fib para todas las funciones de prueba $f\in C_c^{\infty}( \Bbb{R})$, $(d_1,f)=(d_2,f)$.

Así que estás en lo correcto.

Answer 2

Este es un ejemplo de una regla general para la $\delta$-función. Para cualquier función suave $f$, y cualquier función de prueba de $\varphi$: $$\langle f \delta, \varphi, \rangle = \langle \delta, f\varphi \rangle = f(0) \varphi(0) = \langle f(0) \delta , \varphi \rangle.$$

Por lo tanto $ \delta f = f(0) \delta$. Asimismo, $\delta(x-x') f(x) = f(x') \delta(x-x')$. En tu caso, ya que la función de $e^{k(x-x')}$ evaluado en $x = x'$ es simplemente $e^0 = 1$ nos encontramos con que $\delta (x-x') \cdot e^{k(x-x')} = \delta(x-x')$.