Axioma de elección y la comprobación de que el estándar de la topología de R es una topología

Question

Tengo una pregunta muy básica sobre si podemos o no usar el axioma de elección cuando se demuestra que el simple hecho de que la unión de abrir conjuntos de $\mathbb{R}$ (definido como uniones de intervalos abiertos) es un conjunto abierto de $\mathbb{R}$.

Decir que $(U_i)_{i\in I}$ es una familia de abiertos conjuntos de $\mathbb{R}$. Para cada una de las $U_i$ es de la forma $\cup_{j\in J} I_j$ donde el conjunto $J$ puede depender de $i$, y la familia de intervalos abiertos $(I_j)_{j\in J}$ también puede depender de $i$.

Así que para ser capaz de escribir $\cup_i U_i$ como la unión de $\cup_{i,j} I_j$ no tenemos que elegir (potencialmente un número incontable de veces) un conjunto $J$ y una familia $(I_j)_j$ por cada $i$ ? Eso no significa que tenga que aplicar el axioma de elección ?

Answer 1

Tu duda surge porque estamos sólo a $U_i$ que no existe un conjunto de índices $J$ e intervalos $I_j$ tal que $U_i=\bigcup_{j\in J}I_j$. Pero no se nos da esta información.

Sin embargo, podemos describir la unión sin invocar elección como $$\bigcup_{i\in I}U_i = \bigcup_{\langle a,b\rangle\in J}\left]a,b\right[ $$ donde $$J=\{\,\langle a,b\rangle\in \Bbb R^2\mid \exists i\in I\colon \left]a,b\right[\subseteq U_i\,\}. $$

Answer 2

Hagen escribió correctamente, que no tenemos que elegir, y que podemos tomar todos los intervalos.

Pero, en realidad, más es cierto. Cada conjunto abierto de los números reales tiene una única descomposición en pares de intervalos disjuntos. Basta con mirar los componentes conectados de el conjunto abierto.

Así que en este caso no hay absolutamente ninguna necesidad de utilizar la opción, incluso si usted quiere tener una elección canónica. Pero, por supuesto, el punto principal es que usted no necesita elegir cualquier cosa en cualquier momento, teniendo todo funciona bien.

Answer 3

Por lo que su definición de un conjunto abierto en $\Bbb{R}$ es un conjunto que puede ser escrito como una unión de intervalos abiertos. Esto se generaliza: dado un conjunto $X$ y un sistema de $\cal B$ de los subconjuntos de a $X$ que si $A, B \in \cal B$$A \cap B \in \cal B$, no es una topología $\cal T$ $X$ cuyo abrir los conjuntos los conjuntos de la forma $C = \bigcup_{A \in \cal I} A$ donde ${\cal I}$ es un subconjunto de $\cal B$. ($\cal B$ se llama una base para la topología$\cal T$.) Usted no necesita el axioma de elección para demostrar que $\cal T$ es una topología.