Definición de base en un espacio vectorial infinito

Question

Me cuesta entender la definición de una base en un espacio vectorial de dimensión infinita. En concreto, la definición que conozco dice Un subconjunto $B$ de un espacio vectorial $V$ es un base para $V$ si cada elemento de $V$ puede escribirse de forma única como una combinación lineal finita de elementos de $B$ .

Sin embargo, para cualquier subconjunto no vacío $X$ de un espacio vectorial $V$ el elemento cero del espacio puede escribirse de más de una manera como una combinación lineal finita de elementos de $X$ . Por ejemplo, $0 = 0v = 0w$ , donde $v \neq w$ son de $X$ . Por lo tanto, ningún subconjunto $X$ de un espacio vectorial $V$ podría ser una base para $V$ .

¿Qué me falta? ¿Qué significa exactamente la definición?

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$ Dejemos que $(V, +, \cdot)$ sea un espacio vectorial real. Comúnmente se dice que un conjunto ordenado $S = (v_{i})_{i \in I}$ indexado por un conjunto $I$ es un base de $V$ si se cumple lo siguiente:

• $S$ abarca $V$ es decir, para cada $v$ en $V$ existe una función $c:I \to \Reals$ no es cero sólo para un número finito de $i$ , de tal manera que $v = \sum_{i} c(i) v_{i}$ .

• $S$ es linealmente independiente, es decir, si $c:I \to \Reals$ es una función, no nula sólo para un número finito de $i$ y si $0 = \sum_{i} c(i) v_{i}$ entonces $c(i) = 0$ para todos $i$ .

En este marco, la "unicidad de la representación" es un teorema (simple): Si $v \in V$ existe un único función $c:I \to \Reals$ no es cero para un número finito de $i$ , de tal manera que $v = \sum_{i} c(i) v_{i}$ .

La cuestión es que se puede (y para la unicidad, se debe) ver una combinación lineal de $S$ como una suma sobre todo elementos de $S$ pero de forma que a lo sumo los sumandos tengan un coeficiente distinto de cero.

Answer 2

El lenguaje utilizado es un poco descuidado, pero es habitual no ser demasiado quisquilloso en estas definiciones.

Dejemos que $S$ sea un subconjunto (finito o infinito, no importa) de $V$ . A elección de los coeficientes para $S$ es una función $f\colon S\to F$ (donde $F$ es el campo base) tal que $\sigma(f)=\{x\in S:f(x)\ne0\}$ es finito.

Observamos que, si $T$ es un subconjunto finito de $S$ tal que $\sigma(f)\subseteq T$ entonces $$ \sum_{x\in\sigma(f)}f(x)x=\sum_{x\in T}f(x)x $$ con la convención de que $$ \sum_{x\in\emptyset}f(x)x=0 $$ Como el sumatorio no depende del subconjunto finito que elijamos, establecemos, para una elección de coeficientes $f$ , $$ \sum_{x\in S}f(x)x=\sum_{x\in\sigma(f)}f(x)x $$ y llamamos a este vector combinación lineal de $S$ . Obsérvese que la suma es en realidad finita y podemos utilizar cualquier subconjunto $T$ queremos, en lugar de $\sigma(f)$ , siempre y cuando $\sigma(f)\subseteq T$ y $T$ es finito. Esto es útil sobre todo para hacer cálculos con elecciones de coeficientes, cuando se investigan otras propiedades.

Entonces llamamos a $S$ una base para $V$ si

1. Por cada $v\in V$ existe una elección de coeficientes $f$ para $S$ tal que $$ \sum_{x\in S}f(x)x=v $$ (podemos abreviar esta condición diciendo que $S$ es un conjunto de extensión para $V$ ).

2. Por cada $v$ , si $f$ y $g$ son opciones de coeficientes para $S$ y $$ \sum_{x\in S}f(x)x=\sum_{x\in S}g(x)x $$ entonces $f=g$ (podemos abreviar esta condición diciendo que $S$ es linealmente independiente ).

Obsérvese que la condición 2 puede reescribirse como "Si $f$ es una elección de coeficientes para $S$ y $$ \sum_{x\in S}f(x)x=0 $$ entonces $f(x)=0$ para cada $x\in S$ ".

Answer 3

La expresión para $0$ que has escrito no son dos son lo mismo: $$0=0v=0v+0w \mbox{ and } 0=0w=0v+0w .$$

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Dejemos que $B$ sea un subconjunto de $V$ . Dejemos que $v\in V$ puede escribirse como una combinación lineal finita de elementos de $B$ : $$v=a_1v_1+a_2v_2+\cdots + a_nv_n =b_1w_1+b_2w_2+\cdots + b_mw_m, \,\,\,\, v_i,w_j\in B.$$

Pregunta: ¿Cuándo decimos que estas expresiones son iguales?

Para responder a esto, hay que tener en cuenta que $v$ se expresa como combinación lineal de elementos del conjunto $\{v_1,\cdots,v_n\} \cup \{w_1,\cdots,w_m\}$ y algunos $v_i$ y $w_j$ podría ser el mismo. Podemos reescribir las dos expresiones como se indica a continuación: $$ v = a_1v_1+\cdots + a_nv_n + 0w_1 + \cdots + 0w_m.$$ y $$ v = 0v_1+\cdots + 0v_n + b_1w_1 + \cdots + b_mw_m.$$ Dado que algunos $v_i$ y $w_j$ podría ser el mismo, así que dejemos que $$\{v_1,\cdots, v_n\} \cup \{ w_1,\cdots , w_m\}=\{u_1,u_2,\cdots, u_l\}$$ donde todos los $u_i$ son distintos. Entonces las dos expresiones anteriores para $v$ puede expresarse en términos de $u_i$ sólo, utilizando reglas en la multiplicación escalar : $$v=c_1u_1 +\cdots + c_lu_l = c_1'u_1 + \cdots + c_l'u_l.$$ Ahora estas dos expresiones para $v$ se dice que son mismo si $c_i=c_i'$ para todos $i$ .

Ilustración: Dejemos que $v=a_1v_1+a_1v_2$ y $v=b_1w_1 + b_2w_2$ y supongamos, $v_2=w_2$ Entonces el conjunto $\{v_1,v_2\} \cup \{w_1,w_2\}$ contiene sólo tres elementos: $v_1,v_2,w_1$ ; reetiquetarlos como $$v_1=u_1, \,\,\,\, v_2=u_2, \,\,\,\, w_1=u_3.$$ Tenga en cuenta que $w_2=v_2$ y $v_2$ está etiquetado como $u_2$ Así que $w_2=u_2$ .

Las dos expresiones de $v$ ahora se convierten en: $$v=a_1v_1 + a_2v_2 =a_1u_1 + a_2u_2= a_1u_1 + a_2u_2 + 0u_3$$ y $$ v =b_1w_1 + b_2w_2= b_1u_3 + b_2u_2 = 0u_1 + b_2u_2 + b_1u_3.$$ Ahora puedes decir cuando las dos últimas expresiones para $v$ ¿son iguales?

Answer 4

Cuando dices "de forma única", implica que no tienes en cuenta los ceros. De lo contrario, por supuesto, ningún espacio tendría una base, de dimensión infinita o no (excepto el espacio cero...).

Dicho esto, si quiere una definición más sutil : un conjunto $S\subset X$ es una base de $X$ si para cualquier espacio vectorial $Y$ y cualquier función $f:S\to Y$ hay exactamente un mapa lineal $X\to Y$ que se extiende $f$ .