La suma de los números irracionales, un problema de álgebra básica

Question

Deje $x_1,\dots,x_n$ ser los números racionales positivos. Si $\sqrt[l_1]{x_1},\dots,\sqrt[l_n]{x_n}$ son todos los números irracionales (donde $l_1,l_2,\dotsc,l_n\in\Bbb N^*$), no se sigue que la $$\sqrt[l_1]{x_1}+ \dotsb + \sqrt[l_n]{x_n}$$ es un número irracional?

Answer 1

Demasiado largo para un comentario.

Su problema es en realidad equivalente a la siguiente:

Problema: Si $a_1,..,a_k$ son enteros positivos, y $m$ es un entero positivo, por lo que el $\sqrt[m]{a_i} \notin \mathbb Q$

$$\sum \sqrt[m]{a_i} \notin \mathbb Q \,$$

Usted puede hacer la reducción de este problema en dos pasos:

Paso 1: Vamos A $m=lcm (l_1,..,l_n)$. A continuación,$\frac{1}{l_i}=\frac{k_i}{m}$. Deje $y_i=x_i^{k_i}$.

A continuación, usted sabe que $y_i$ son los números racionales positivos y $x_i^\frac{1}{l_i}=\sqrt[m]{y_i}$.

Paso 2: Deje $y_i=\frac{b_i}{c_i}$ y deje $d= lcm (c_1,..,c_n)$. A continuación, puede escribir

$$y_i=\frac{a_i}{d^m}$$

y se puede conseguir que la problema.

Estoy bastante seguro de que vi a algunos Teoremas de la Teoría de Galois, que implican las versiones más fuertes del problema anterior.

Añadido Teorema 2.9 en Este Papel es exactamente la pregunta, que proporciona alguna referencia a la Historia del problema y una prueba.