Una pregunta acerca de la transformación canónica

Question

He puesto esta pregunta en matemáticas.stackexchange antes con ninguna respuesta hasta ahora. Puede ser más adecuado para publicar aquí.

Hay un problema en Arnold Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica que dice que:

Muestran que el mapa de $A: \mathbb{R}^{2n} \rightarrow \mathbb{R}^{2n}$ envío de $(p, q) \rightarrow (P(p,q), Q(p,q))$ es canónica(p206) si y sólo si la distribución de Poisson brakets de cualquiera de las dos funciones en las variables $(p,q)$ $(P,Q)$ coincidir: $$ (F,H)_{p,q} = \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial F}{\partial q} - \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial F}{\partial p} = \frac{\partial H}{\partial P} \frac{\partial F}{\partial Q} - \frac{\partial H}{\partial Q} \frac{\partial F}{\partial P} = (F,H)_{P,Q}. $$

No puedo resolver este problema y pensar en como la siguiente: De $(F,H)_{p,q} = (F,H)_{P,Q}$ I puede inducir a que $$ \sum_i \det\left( \frac{\partial(P_j, P_k)}{\partial(p_i, q_i)} \right) = \sum_i \det\left( \frac{\partial(Q_j, Q_k)}{\partial(p_i, q_i)} \right) = 0, \sum_i \det\left( \frac{\partial(P_j, Q_k)}{\partial(p_i, q_i)} \right) = \delta_{j,k}, $$ y $$ \sum_i \det\left( \frac{\partial(p_j, p_k)}{\partial(P_i, Q_i)} \right) = \sum_i \det\left( \frac{\partial(q_j, q_k)}{\partial(P_i, Q_i)} \right) = 0, \sum_i \det\left( \frac{\partial(p_j, q_k)}{\partial(P_i, Q_i)} \right) = \delta_{j,k}. $$ Pero en el otro lado, para inducir $dP\wedge dQ = dp \wedge dq$ necesito que $$ \sum_i \det\left( \frac{\partial(p_i, q_i)}{\partial(P_j, P_k)} \right) = \sum_i \det\left( \frac{\partial(p_i, q_i)} {\partial(Q_j, Q_k)} \right) = 0, \sum_i \det\left( \frac{\partial(p_i, p_i)}{\partial(P_j, Q_k)} \right) = \delta_{j,k}, $$ o $$ \sum_i \det\left( \frac{\partial(P_i, Q_i)}{\partial(p_j, p_k)} \right) = \sum_i \det\left( \frac{\partial(P_i, Q_i)}{\partial(q_j, q_k)} \right) = 0, \sum_i \det\left( \frac{\partial(P_i, Q_i)}{\partial(p_j, q_k)} \right) = \delta_{j,k}. $$ Hay algo mal en el anterior razonamiento? ¿Me puede mostrar cómo solucionar este problema?

Answer 1

I) Primera parte de la terminología. Considere la posibilidad de un simpléctica colector $(M;\omega)$. En un gráfico de $U\subseteq \mathbb{R}^{2n}$, el simpléctica de dos formas lee

$$ \tag{1} \omega~=~\frac{1}{2} \omega_{ij}~\mathrm{d}x^i \wedge \mathrm{d}x^j ,$$

y la correspondiente distribución de Poisson bi-vector

$$ \tag{2} \pi~=~\frac{1}{2} \pi^{ij}~\partial_i \wedge \partial_i, $$

donde

$$ \tag{3} \omega_{ij} ~\pi^{jk}~=~\delta_i^k. $$

El corchete de Poisson lee

$$\tag{4} \{f,g\}_{PB} ~=~ (\partial_i f) \pi^{ij} (\partial_j g). $$

II) En un local de Darboux gráfico de $U\subseteq \mathbb{R}^{2n}$, el simpléctica de dos formas lee

$$\tag{4} \omega~=~\frac{1}{2}(J^{-1})_{ij}~\mathrm{d}x^{i} \wedge \mathrm{d}x^{j}~=~-\frac{1}{2}J^{ij}~\mathrm{d}x^{i} \wedge \mathrm{d}x^{j}, $$

y la correspondiente distribución de Poisson soporte de lee

$$\tag{5} \{x^i,x^j\}_{PB}~=~J^{ij}, $$

donde

$$\tag{6} J ~=~\begin{bmatrix} 0_n & I_n \cr -I_n & 0_n \end{bmatrix}.$$

III) Ahora volvamos al OP pregunta con algunas sugerencias. La definición de una transformación canónica$^1$ $\phi:M\to M$ dado en la Ref. 1 es equivalente a la noción de un symplectomorphism

$$\tag{7} \phi^{\ast}\omega ~=~\omega.$$

Permite elegir un local de Darboux neighboorhood. Deje que la matriz de Jacobi para el symplectomorphism ser

$$\tag{8} M^i{}_j ~:=~\frac{\partial \phi^i(x)}{\partial x^j}. $$

IV) Muestran que la condición (7) implica que la matriz de $M$ es un simpléctica de la matriz

$$\tag{9} M^t J^{-1} M~=~ J^{-1}, $$

o, equivalentemente,

$$\tag{10} M J M^t~=~ J. $$

V) Muestran que la simpléctica condición (10) es equivalente a la preservación de la distribución de Poisson soporte

$$\tag{11} \{ \phi^i(x),\phi^j(x)\}_{PB}~=~\{x^i,x^j\}_{PB}. $$

Referencias:

1. V. I. Arnold, métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica, 2ª ed., 1989, pág. 206.

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$^1$ Tenga en cuenta que diferentes autores dan diferentes definiciones de una transformación canónica, cf. por ejemplo, este Phys.SE post.