Muestran que para los no-singular $A \in R^{m\times m}$ existe vectores no nulos $\textbf{b}$ $\delta \textbf{b}$ $R^m$ de manera tal que las ecuaciones siguientes se mantenga: $A \textbf{x} = \textbf{b}$, $A (\textbf{x} \delta \textbf{x}) = \textbf{b} + \delta \textbf{b}$, y $\frac{\Vert \delta \textbf{x} \Vert_p}{\Vert \textbf{x} \Vert_p} = \kappa_p(A) \frac{\Vert \delta \textbf{b} \Vert_p}{\Vert \textbf{b} \Vert_p}$ donde $p = 1, 2, \infty$ $\kappa_p = \Vert A \Vert_p \Vert A^{-1} \Vert_p$
Se nos anima a utilizar la siguiente información:
$$\Vert B \Vert_p = \max \limits_{0 \neq \textbf{z} \in R^m}\frac{\Vert B\textbf{z} \Vert_p}{\Vert \textbf{z} \Vert_p}$$
y que siempre existe una particular distinto de cero $\textbf{z} \in R^m$ tal que
$$\Vert B \Vert_p = \frac{\Vert B\textbf{z} \Vert_p}{\Vert \textbf{z} \Vert_p}$$
También sabemos que $B = A$$B = A^{-1}$.
Mis Pensamientos
Así que primero quería establecer lo que estoy tratando de demostrar. Por lo que entiendo se supone que debo usar
$$\Vert B \Vert_p = \frac{\Vert B\textbf{z} \Vert_p}{\Vert \textbf{z} \Vert_p}$$
y de alguna manera manipular el formulario de $Ax = b$. Si puedo hacer eso, entonces yo debería haber ningún problema con $A (x+dx) = b + db$. El más cercano que he conseguido es
$$
\Vert \textbf{z} \Vert_p = \frac{\Vert B\textbf{z} \Vert_p}{\Vert B\Vert_p} = \frac{\Vert A^{-1}\textbf{z} \Vert_p}{\Vert A^{-1}\Vert_p}
$$
¿Está bien que me acaba de decir que a $A^{-1} \textbf{z} = \textbf{x}$ algunos $\textbf{x} \in R^m$ y $\textbf{z} = \textbf{b}$?
Para la segunda parte me gustaría hacer lo mismo que el anterior pero ha $\textbf{z = z + dz}$ y en lugar de decir que $A^{-1} \textbf{(z + dz)} = \textbf{x + dx}$. Esto se simplifica a $A^{-1} \textbf{dz} = \textbf{dx}$
Para la tercera parte,
$$ \Vert \delta \textbf{z} \Vert_p = \frac{\Vert B \delta\textbf{z} \Vert_p}{\Vert B\Vert_p} =\frac{\Vert A^{-1} \delta\textbf{z} \Vert_p}{\Vert A^{-1} \Vert_p} $$ Si puedo dividir ambos lados por x p-norma puedo conseguir $$ \frac{\Vert \delta \textbf{z} \Vert_p \Vert A^{-1} \Vert_p }{\Vert \textbf{x} \Vert_p} =\frac{\Vert A^{-1} \delta\textbf{z} \Vert_p}{\Vert \textbf{x} \Vert_p} $$ Sé que $$ \Vert \textbf{b} \Vert_p = \Vert \textbf{x} \Vert_p \leq \Vert \Vert_p \Vert\textbf{x} \Vert_p \Rightarrow \frac{\Vert \textbf{b} \Vert_p} { \Vert \Vert_p} \leq \Vert\textbf{x} \Vert_p $$
Esto puede escribirse como (he sustituido z = b) $$ \frac{\Vert \delta \textbf{z} \Vert_p \Vert A^{-1} \Vert_p }{\frac{\Vert \textbf{b} \Vert_p} { \Vert \Vert_p} } \leq \frac{\Vert A^{-1} \delta\textbf{z} \Vert_p}{\Vert \textbf{x} \Vert_p} \Rightarrow \frac{\Vert \delta \textbf{z} \Vert_p }{\Vert \textbf{b} \Vert_p } \kappa_p(A) \leq \frac{\Vert A^{-1} \delta\textbf{z} \Vert_p}{\Vert \textbf{x} \Vert_p} $$ Hemos demostrado en otro lugar que $$ \frac{\Vert \delta \textbf{z} \Vert_p }{\Vert \textbf{b} \Vert_p } \kappa_p(A) \geq \frac{\Vert A^{-1} \delta\textbf{z} \Vert_p}{\Vert \textbf{x} \Vert_p} $$ por lo que este debe demostrar la igualdad.
Cualquier comentario sobre esta prueba sería muy valiosa. Sólo quiero asegurarme de que tengo todas las piezas. También, no estoy seguro si hice lo correcto.
Nota: las Pruebas son mi mayor debilidad.
