Encontrar la integral indefinida $\int \frac{25}{(3\cos(x)+4\sin(x))^2} dx$

Question

Encontrar la integral indefinida: $$ \int\frac{25}{(3\cos(x)+4\sin(x))^2} dx$$

Obviamente, la primera cosa es ampliar el denominador, pero que no nos ayuda en mucho. También he tratado de aplicar la sustitución de Weierstrass, pero que conducen a un agujero negro de álgebra. Yo también observe que el denominador tiene un $3$ $4$ y el numerador ha $25$, lo que significa un $3-4-5$ triángulo podrían estar relacionados con esta integral, pero no estoy seguro.

Cualquier ayuda se agradece :)

Answer 1

Sugerencia. Uno puede escribir $$ \int \frac{25}{(3\cos(x)+4\sin(x))^2} dx=\int \frac{25}{(3+4\tan(x))^2} \frac{dx}{\cos^2 x}=\int \frac{25}{(3+4u)^2} \:du $$ with $u=\tan x$.

Answer 2

Deje $\varphi$ tal que $\;\begin{cases}\cos\varphi=\frac35,\\\sin\varphi=\frac45.\end{cases}$, por ejemplo,$\;\varphi=\arctan\bigl(\frac43\bigr)$.

La integral se puede escribir como $$\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x-\varphi)}=\tan(x-\varphi).$$