Estimación de la varianza con el menor error cuadrático medio

Question

Respecto a los estimadores de la varianza de una muestra iid de tamaño $n$ Karl Ove Hufthammer dice Estimaciones de la varianza de una muestra iid :

si tienen una distribución normal, dividir por n+1 (¡sic!) dará el menor error cuadrático medio.

¿Por qué da el menor error cuadrático medio?

¿Qué quiere decir con "(sic!)"?

Gracias.

Answer 1

Definir

$$s^2_d = \frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\,\right)^2}{d}$$

La estadística $(n - 1)s_{n-1}^2 / \sigma^2$ sigue un $\chi^2_{n-1}$ distribución. A $\chi^2_{n-1}$ tiene media $n-1$ y la varianza $2(n-1)$ . Por lo tanto, $\text{E}(s_{n-1}^2) = \sigma^2$ y $\text{Var}(s_{n-1}^2) = 2\frac{\sigma^4 }{ n - 1}$ .

Ahora $s_d^2 = \frac{n-1}{d} s_{n-1}^2$

$$\text{Bias}(s_d^2) = E(s_d^2)-\sigma^2 = \frac{n-1}{d}\sigma^2 -\sigma^2=\frac{n-1-d}{d}\sigma^2$$

$$\text {Var}(s_d^2) = 2\sigma^4(n - 1) / d^2$$

$$\text{MSE} = \text{Bias}^2 + \text{Var}$$

Por lo tanto,

\begin{eqnarray} \text{MSE}(s_d^2) &=& \left(\frac{n-1-d}{d}\right)^2\sigma^4+ 2\sigma^4(n - 1) / d^2\\ &=&\sigma^4\frac{(n-1-d)^2+2(n-1)}{d^2}\\ &=&\sigma^4\,f(d)\,,\end{eqnarray}

donde $f(d)=1+\frac{(n-1)^2 + 2(n-1)-2(n-1)d}{d^2}$

$f(d)$ está en un punto de inflexión cuando $f'(d)=0$

es decir, cuando $d(-2(n-1))-2((n-1)^2 + 2(n-1)-2(n-1)d) = 0$

que se produce cuando $d-2=n-1$ ... es decir, cuando $d=n+1$

Demostrar que es un mínimo y no un máximo (o incluso un punto de inflexión horizontal) es sencillo, pero lo dejaré así por ahora.

El correspondiente Página de Wikipedia lo hace de forma más general, obteniendo una fórmula en términos de exceso de curtosis (que da el mismo resultado en este caso). Puede que incorpore un esquema de esa derivación en algún momento.