Probar esto : $\left(a\cos\alpha\right)^n + \left(b\sin\alpha\right)^n = p^n$

Question

Tengo esta pregunta: Si la línea de $x\cos\alpha + y\sin\alpha = p$ toca la curva de $\left(\frac{x}{a}\right)^\frac{n}{n - 1} + \left(\frac{y}{b}\right)^\frac{n}{n - 1} = 1$

entonces demostrar que $\left(a\cos\alpha\right)^n + \left(b\sin\alpha\right)^n = p^n$

Sé que la ecuación dada es una ecuación de la recta en forma normal con la distancia perpendicular $p$ desde el origen.

El poco progreso que parecen hacer después de la sustitución de $x$ $y$ a partir de la ecuación de la línea a la ecuación de la curva parece inútil tratar de demostrar que por lo tanto aún más.

Me parece de no realizar más progresos en esta cuestión. ¿Qué debo hacer?

Answer 1

Nota: la pendiente de la recta es $$ m_1=-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $$ y la pendiente de la recta tangente a la curva en el $(x_0,y_0)$ es $$ m_2=y'|_{x=x_0}=-\frac{b}{a}\left(\frac{bx_0}{ay_0}\right)^{\frac1{n-1}}.$$ Así, a partir de $m_1=m_2$ hemos $$ y_0=\frac{b^n\sin^{n-1}\alpha}{a^n\cos^{n-1}\alpha}x_0.$$ Tomando nota de que $(x_0,y_0)$ está en la línea, tenemos $$ x_0=\frac{pa^n\cos^{n-1}\alpha}{a^n\cos^{n}\alpha+b^n\sin^{n}\alpha}, y_0=\frac{pb^n\sin^{n-1}\alpha}{a^n\cos^{n}\alpha+b^n\sin^{n}\alpha}. $$ Pero $(x_0,y_0)$ está en la curva, es decir, $\left(\frac{x_0}{a}\right)^\frac{n}{n - 1} + \left(\frac{y_0}{b}\right)^\frac{n}{n - 1} = 1$ de la que podemos deducir $$\left(a\cos\alpha\right)^n + \left(b\sin\alpha\right)^n = p^n. $$