Inventar un mapeo lineal que transforma la función

Question

Crear un mapeo lineal llamado $F :R^2 \to R^2$ que transforma la elipse $y^2 + 2xy + 3x^2 = 4$ en el circulo de la $u^2 + v^2 = 2$.

Así que debemos tener $(u, v) = F(x, y)$

¿Cómo puedo "enfoque" esto decir? Esto es un poco difícil ir a través de.

Veo que la suma de los cuadrados deben $2$, pero no sabe cómo?

Answer 1

Sin el uso de diagonalización o vectores propios, al completar las plazas \begin{align} y^2+2xy+3x^2 &= 4 \\ (y+x)^2+2x^2 &= 4 \\ \left( \frac{x+y}{\sqrt{2}} \right)^2+x^2 &=2 \\ u &= \frac{x+y}{\sqrt{2}} \\ v &= x \end{align}