Si $f,g:X \to Y$ son continuos y $Y$$T_2$, $\{x \in X\,|\,f(x)=g(x)\}$ está cerrado

Question

Me gustaría saber si la siguiente prueba es válida. La única cosa que no estoy seguro (aunque yo no puedo ver por qué no es válido si lo es) es que, si siempre podemos utilizar el Hausdorfness de $Y$ para separar un conjunto abierto de $f(C)=g(C)$.

"Vamos a $X$ ser un espacio, $Y$ $T_2$- espacio, y $f,g:X \to Y$ funciones continuas. Demostrar que $C:=\{x \in \,|\,f(x)=g(x)\}$ es un subconjunto cerrado de $X$."

Deje $x \in X$ ser tal que $f(x) \ne g(x)$. Desde $Y$$T_2$, hay conjuntos de $U_\alpha \ni f(x)$ $V_\alpha \ni g(x)$ tal que $U_\alpha \cap O_\alpha=V_\alpha \cap O_\alpha=\varnothing$ todos los $\alpha \in A$ donde $A$ es el conjunto de indexación de los puntos de $f(C)=g(C)$, e $O_\alpha$ es un conjunto abierto que contiene a $x_\alpha \in f(C)=g(C)$. Deje $U:=\displaystyle\bigcap_{\alpha \in A} U_\alpha$$V:=\displaystyle\bigcap_{\alpha \in A} V_\alpha$. A continuación,$U \cap f(C)=V \cap f(C)=\varnothing$. Por lo tanto, desde el $f,g$ son continuos, $f^{-1}(U)$ $g^{-1}(V)$ están abiertas pone en $X$ disjunta de a $C$. Desde $X\setminus A$ es la unión de estos conjuntos, es abierto y, por tanto, $C$ es cerrado.

Gracias.

Answer 1

Si $f,g \colon X \to Y$ son continuas, entonces $(f,g)\colon X\to Y\times Y$ es continua. El conjunto $\{x\colon f(x) = g(x) \}$ es la contra-imagen por medio de $(f,g)$ de la diagonal $\Delta = \{ (y,y) \colon y\in Y\}$$Y\times Y$. Por lo que es suficiente para comprobar que la diagonal es un conjunto cerrado.

Vamos a demostrar que el punto de $(x,y)\not \in \Delta$ tiene un barrio que no se cruzan $\Delta$. De hecho Hausdorff propiedad de $Y$ afirma que $x$ $y$ (siendo diferentes puntos) tienen dos no la superposición de los barrios $U$, $V$. Por lo tanto $U\times V$ es un barrio de $(x,y)$ no se tocan $\Delta$.

Answer 2

Argumento diferente (suponiendo que usted hizo en el ejercicio en el enlace de antes):

Si $f,g:X\to Y$ son continuos y $Y$ es Hausdorff entonces por un cerrado gráfico teorema tenemos que $G_f=\{(x,f(x)):x\in X\}$ $G_g=\{(x,g(x)) : x\in X\}$ están cerrados en $X\times Y$; por lo tanto, $G_g\cap G_f = \{(x,f(x) ):x\in X , f(x)=g(x)\}$ está cerrado así. Pero $F:X\to X\times Y$ $F(x)=(x,f(x))$ es continuo , de donde $F^{-1}(G_f\cap G_g)=\{x : f(x)=g(x)\}$ es cerrado en $X$.