Disculpas si me equivoco en la notación. Todavía estoy aprendiendo estas cosas.
Supongamos que tengo una variedad riemanniana de 2 dimensiones $\mathcal{M}$ que está cubierto por un solo gráfico: $\phi: \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}^2$ (o alternativamente, pensemos en un solo gráfico).
Puedo pensar en este colector como el plano que se estira en algunos lugares y/o se encoge en otros lugares (o direcciones) dependiendo de la métrica $g$ . Entiendo lo suficiente de cálculo y física como para saber qué hacer cuando alguien me entrega alguna métrica que depende de coordenadas, digamos $g = g_{xx}(x,y) dx^2+g_{xy}(x,y) dx dy+ g_{yy}(x,y) dy^2$ Para que en ese gráfico pueda hacer cálculos (encontrar la longitud, etc). Pero sigo luchando con la intuición. Así que aquí está mi pregunta:
Supongamos que tengo algún rectángulo en el plano con alguna métrica prescrita. ¿Puedo pensar que esto (para el caso 2D) es igual que un mapa topográfico? Si no es así, ¿en qué se diferencia la métrica cambiante de los baches y valles de dicho mapa? Cualquier ejemplo que me ayude a entender mejor esto será muy apreciado.
