ayuda con un ejercicio de álgebra

Question

Estoy atascado con el siguiente espero que alguien me pueda ayudar.

Deje $N$ un subgrupo normal de $G$. Mostrar que si $[G:N]=4$, existe un subgrupo normal $M$ $G$ s.t. $[G:M]=2$. Mi idea: Desde $G/N$ tiene orden 4, es isomorfo a $\mathbb{Z}/4$ o $\mathbb{Z}/2 \times\mathbb{Z}/2$ y, en cualquier caso, tenemos un subgrupo de orden $2$ y, por ejemplo, lo mismo se aplica a $G/N$, pero a partir de aquí yo no estoy seguro de cómo obtener el normal subgrupo $M$ $G$ que tienen exactamente dos cosets. alguna idea?

Yo creo que lo tengo. $G \to_\pi G/H\to _f\{\text{klein 4 group or cyclic group}\}$. Si tenemos un cíclica o el grupo de Klein 4 grupo (tanto commutatives) podemos encontrar un subgrupo de orden $2$, decir $H$ (que obviamente es normal), a continuación,$f^{pre}[H]=K\lhd G/H$, y definir $M =\pi^{pre}[K]\lhd G$ (debido a la canónica mapa es una surjecion). Para concluir, afirmamos que el $[G:M]= 2$. Desde $4=[G:N]=[G:M][M:N]=[G:M]2$, hemos terminado.

Creo que es correcta, gracias

Answer 1

El uso de la homomorphism teoremas. Por el teorema de la correspondencia, si $N \trianglelefteq G$ $\pi:G \rightarrow G/N$ es la proyección canónica, a continuación, $\pi$ respeta los índices, el factor de grupos, la contención y la normalidad. Por lo tanto, si $H'$ es la imagen de $H$, $H'$ es normal en $G':=G/N$ fib $H$ es normal en $G$, y el índice de $|G':H'|$ es igual a $|G:H|$. En su caso $G/N \cong C_4$, que tiene un subgrupo normal $H'$ de índice 2. Por el teorema de la correspondencia, la (completa) preimagen de $H'$ es un subgrupo normal en $G$ y tiene un índice de 2 $G$.