Cociente de una variedad afín por un grupo finito

Question

He trabajado a través de la prueba de la declaración de que un cociente de una variedad afín X siempre existe en el caso de que el grupo G que actúa sobre X es finito (ver "la Geometría Algebraica, un Primer Curso", por Harris, página 124), y ahora estoy tratando de mostrar que esta construcción cumple con la universalidad de la propiedad.

Así que he a $\pi : X \rightarrow Y$ surjective con Y siendo el cociente de X. necesito mostrar que, dado otra variedad Z y $f: X \rightarrow Z$ regular, f factores a través de la Y el fib es un G invariante en el mapa, es decir,$f(p)=f(g(p)) \forall g \in G, p \in X$.

Traté de prueba de este a través de los respectivos coordinar los anillos: he - por la construcción de una inclusión mapa de $A(Y)=A(X)^G \hookrightarrow A(X)$ y la inducida por el mapa de $f^*: A(Z) \rightarrow A(X)$. Ahora, suponiendo que, por ejemplo, que f G es invariante, tendría que demostrar que no existe $\varphi :A(Z) \rightarrow A(Y)$ hacer el diagrama conmutativo para que yo pudiera tomar la inducida por el mapa de $\varphi$ como la factorización de f. Estoy en el camino correcto aquí? ¿Y qué acerca de la otra dirección?

Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $A$ ser un anillo y deje $G$ ser un grupo finito con un morfismos $G\to \mathrm{Aut}(A)$. Tenga en cuenta que $G$ actúa desde la derecha en $X=\mathrm{Spec} A$. Considerar los morfismos $\pi:X\longrightarrow Y$,$Y=\mathrm{Spec} A^G$, inducida por la inyección de $A^G \subset A$.

El uso de la categoría de afín esquemas (anti-)-equivalente a la categoría de los anillos, es fácil ver que $\pi:X\longrightarrow Y$ es el cociente que resulta de la acción de la $G$ en la categoría de afín esquemas: cada $G$-invariante de morfismos $f:X\to Z$ $Z$ afín factores de forma exclusiva a través de $\pi$. De hecho, esto puede ser fácilmente deducido a partir de la siguiente afirmación obvia: cualquier anillo de morfismos $\varphi:R\to A$ tal que para todos los $g$ $G$ tenemos $g\varphi = \varphi$ factores de forma exclusiva a través de $A^G$.

Así que como ustedes saben, $\pi:X\to Y$ es el cociente que resulta de la acción de la $G$ en la categoría de esquemas. Pero en realidad es incluso mejor que el! Los morfismos $\pi:X\to Y$ es el cociente que resulta de la acción de la $G$ en la categoría de local rodeada de espacios. Permítanme esbozar cómo puede probar esto.

En primer lugar, mostrar que $\pi:X\to Y$ es el conjunto teórico-cociente mapa, es decir, $\pi$ induce un bijection entre el $G$de las órbitas de $X$$Y$. Esta es la parte difícil. Por ejemplo, dado un primer ideal $\mathfrak{p}$$B=A^G$, usted tendrá que demostrar que $B_{\mathfrak{p}} = (A_{\mathfrak{p}})^G$. (El natural mapa de $B_{\mathfrak{p}} \to A_{\mathfrak{p}}$ factores de forma exclusiva a través de un mapa de $B_{\mathfrak{p}} \to (A_{\mathfrak{p}})^G$. Esto es suficiente para mostrar que este mapa es surjective. El uso de la definición de los tallos y la escritura). También, para concluir, supongamos que tenemos dos distintas órbitas $x_1 G$ $x_2 G$ de los primos de mentir sobre $\mathfrak{p}$. Entonces, aplicando el teorema del resto Chino, se que esto es imposible.

Así que supongamos que hemos demostrado que $\pi:X\to Y$ es el conjunto teórico-cociente mapa. Entonces, es fácil ver que $Y$ tiene el cociente de la topología. De hecho, $\pi$ es continua y cerrada.

Ahora, para terminar, se miran a los naturales de morfismos de poleas $ \mathcal{O}_Y\to (\pi_ast \mathcal{O}_X)^G$. Este es un isomorfismo. (Usted puede verificar esto es, en la principal se abre a$D(b)$$Y$,$b\in B$. Pero luego esto se reduce a mostrar que la $B_{b} \to (A_b)^G$ es un isomorfismo. Ya hemos mostrado que esta arriba).

Así que esto es realmente un esbozo de cómo recuerdo de la prueba. Déjeme saber si usted necesita más detalles.