Número de polinomios de grado 4

Question

Encontrar los números de todos los polinomios de grado $4$ puede crear con las letras $x,y,z$. Todos los coeficientes deben ser $1$.

Puedo crear $\binom{6}{4}=15$ monomials de grado $4$$x,y,z$. Utilizando la misma regla puedo obtener el $10,6,3,1$ monomials de grado $3,2,1,0$, respectivamente, con las mismas letras. Ahora Llame a $A$ el conjunto de todos los subconjuntos de monomials de grado $4$ (excepto para el conjunto null), $|A|=2^{15}-1$, y llame a $B$ el conjunto constituido por todos los subconjuntos de monomials de grado de $3$ a $0$, $|B|=2^{20}$. Todos los polinomios de grado $4$$$|A \times B|=(2^{15}-1)2^{20}=34358689792$$, que es enorme. Es mi respuesta correcta?

Answer 1

Su respuesta es correcta para mí.

Answer 2

Permítanme presentar una ligera forma diferente de contar polinomios.

Considere los conjuntos de la monomials $$ S_{\,4} = \underbrace {\left\{ {x^{\,n_{\,x} } y^{\,n_{\,y} } z^{\,n_{\,z} } } \right\}}_{\left\{ \begin{subarray}{l} 0\, \leqslant \,n_{\,k} \, \leqslant \,4\, \\ n_{\,x} + n_{\,y} + n_{\,z} = 4 \end{subarray} \right.},\quad S_{\,3} = \underbrace {\left\{ {x^{\,n_{\,x} } y^{\,n_{\,y} } z^{\,n_{\,z} } } \right\}}_{\left\{ \begin{subarray}{l} 0\, \leqslant \,n_{\,k} \, \leqslant \,3\, \\ n_{\,x} + n_{\,y} + n_{\,z} = 3 \end{subarray} \right.},\; \cdots \;,\quad S_{\,0} = \underbrace {\left\{ {x^{\,n_{\,x} } y^{\,n_{\,y} } z^{\,n_{\,z} } } \right\}}_{\left\{ \begin{subarray}{l} 0\, \leqslant \,n_{\,k} \, \leqslant \,0\, \\ n_{\,x} + n_{\,y} + n_{\,z} = 0 \end{subarray} \right.} $$

La cardinalidad del conjunto de $S_m$ le corresponde al número de la debilidad de las composiciones de $m$ a $3$ partes, es decir: $$ \begin{gathered} S_{\,m} = \underbrace {\left\{ {x^{\,n_{\,x} } y^{\,n_{\,y} } z^{\,n_{\,z} } } \right\}}_{\left\{ \begin{subarray}{l} 0\, \leqslant \,n_{\,k} \, \leqslant \,m\, \\ n_{\,x} + n_{\,y} + n_{\,z} = m \end{subarray} \right.}\quad \Rightarrow \quad \left| {S_{\,m} } \right| = \left( \begin{gathered} m + 3 - 1 \\ 3 - 1 \\ \end{reunieron} \right) = \left( \begin{gathered} m + 2 \\ 2 \\ \end{reunieron} \right) = \hfill \\ = \left[ {1,3,6,10,15\;\left| {\;m = 0, \cdots ,4} \right.} \right] \hfill \\ \end{se reunieron} $$ y la cardinalidad del conjunto total, la unión de los conjuntos de arriba, se $$ S = \bigcup\limits_{0\, \le \m\, \le \,4} {S_{\,m} } \quad \Rightarrow \quad \left| S \right| = \sum\limits_{0\, \le \m\, \le \,4} {\left| {S_{\,m} } \right|} = \sum\limits_{0\, \le \m\, \le \,4} {\left( \matriz{ m + 2 \cr 2 \cr} \right)} = \left( \matriz{ 7 \cr 4 \cr} \right) = 35 $$

Ahora un polinomio de grado $4$ deberá ser hecha por la suma de al menos uno de los monomials en $S_4$ y de lo que número de la monomials de menor grado, por lo tanto $$ N = \left( {2^{\,15} - 1} \right)2^{\,20} $$ lo que confirma su cálculo.