Aquí están algunas de las observaciones relacionadas con las preguntas que se plantean:
Primero de todos, usted menciona homotopy grupos, en lugar de homología de grupos.
La relación entre homotopy y homología con $\mathbb Z$-coeficientes (en la medida en que es una sola) está dada por el teorema de Hurewicz. En cualquier caso, en la discusión de la dualidad de Poincaré, es homología y cohomology grupos que son directamente relevantes, en lugar de homotopy grupos.
La relación entre el singular homología con $\mathbb Z$ $\mathbb R$ coeficientes es dada por el universal coeficiente teorema. Se establece que
$H_i(X,\mathbb R) = H_i(X,\mathbb Z)\otimes_{\mathbb Z} \mathbb R.$ (En general, no sería un Tor contribución así, pero que se desvanece, puesto que en la $\mathbb R$ es de torsión libre.)
El Teorema de de Rham
indica que el $k$th de Rham cohomology de un buen colector es isomorfo a
el $k$th singular cohomology de la múltiple con $\mathbb R$-coeficientes,
o, equivalentemente, (por universal coeficientes para cohomology), es dual a la $k$th singular homología con $\mathbb R$-de los coeficientes.
La dualidad de Poincaré en sí, cuando se expresan en términos de de Rham cohomology, sostiene que para que un cerrado, conectado, y orientables $n$-dimensiones suave colector, el $n$th de Rham cohomology grupo $H^n$ es una dimensión más de $\mathbb R$, y el de la copa del producto de
$H^k \times H^{n-k}$ $H^n$(que de de Rham cohomology es inducida por la cuña de producto en las formas) es un perfecto maridaje.
Teniendo en cuenta la relación entre de Rham y singular teoría se indicó anteriormente, esto también puede ser formulada como un isomorfismo entre el $H^{n-k}$ $H_k$ $\mathbb R$- de los coeficientes. Pero tenga en cuenta que la homología bajo consideración ha $\mathbb R$-coeficientes, no $\mathbb Z$-coeficientes! Tenga en cuenta también que la dualidad de Poincaré es una declaración de cerrado colectores (y por lo tanto no se aplica, al menos en la ingenua forma que te he dicho, a un no-compacto colector como el perforado plano).
Hay una versión de la dualidad de Poincaré con $\mathbb Z$-coeficientes (así como las generalizaciones no cerrado y/o no-orientable colectores); vea la página de la wikipedia. Tenga en cuenta que si usted desea considerar homología con $\mathbb Z$-coeficientes, entonces usted también tendrá que considerar cohomology con $\mathbb Z$-coeficientes, y de Rham teoría no hacerlo. (Usted tendrá que utilizar alguna otra forma de cohomology, tales como singular, Cech, o gavilla cohomology.)
