Es cierto si $R = mZ/mdZ$ es isomorfo a $Z/dZ$, entonces debe haber una unidad de elemento?

Question

Es cierto si $R = mZ/mdZ$ es isomorfo a $Z/dZ$, entonces debe haber una unidad de elemento? Esta es una pregunta que me hago, pero no estoy seguro de esta respuesta. Es que nadie podía explicar por qué esto es (o no es) cierto?

Que pregunta es el resultado :

$m\mathbb{Z}/md\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ como anillos sin identidad,si y sólo si $(d,m)=1$.

Answer 1

Sí, esto es cierto, ya que la $A = \Bbb Z/d\Bbb Z$ tiene una unidad de elemento, es decir, un elemento $1$ tal que $1 \cdot x =x=x\cdot 1$ todos los $x \in A$.

Si $f : A \to B$ es un surjective anillo homomorphism, a continuación, $f(1)$ es una unidad de elemento de $B$ (en particular para $B= m\Bbb Z/md \Bbb Z$) : si $b \in B$, $b=f(a)$ algunos $a \in A$, por lo que el $$f(1)\cdot y = f(1 \cdot x)=f(x)=y=y \cdot f(1)$$