¿Existe un cierre algebraico para los cuaterniones?

Question

Este post es una secuela de: Es el conjunto de cuaterniones $\mathbb{H}$ ¿algebraicamente cerrado?

Esta respuesta muestra que:
1. $\mathbb{H}$ es algebraicamente cerrado para los polinomios de la forma $\sum a_r x^r$
2. No es para los polinomios generados libremente por $\mathbb{H}$ y $x$ porque $xi+ix-j$ no tiene raíz.

Pregunta : ¿Existe un cierre algebraico (para el caso 2)?
Si es así: ¿Qué aspecto tiene? ¿Cuál es su dimensión sobre $\mathbb{H}$ ? ¿Cuáles son sus representaciones matriciales?

Answer 1

No creo que pueda haber una asociación $\Bbb{R}$ -Álgebra $L$ que contiene $\Bbb{H}$ como un subring, tal que la ecuación $$xi+ix=j\qquad(1)$$ tiene una solución $x\in L$ .

Multiplicando $(1)$ por $i$ desde la izquierda nos da $ixi+i^2x=ij$ o $ixi-ij=-i^2x$ . Como $i^2=-1$ y $ij=k$ , esto se lee $$ x=ixi-k.\qquad(2) $$ Por otro lado, multiplicando $(1)$ por $i$ de la derecha nos da $xi^2+ixi=ji$ y utilizando $i^2=-1, ji=-k$ esto da como resultado $$ x=ixi+k.\qquad(3) $$ Las ecuaciones $(2)$ y $(3)$ juntos implican $k=-k$ . Como $k$ es una unidad de $L$ esto implica que $2=0$ en $L$ Así que $L$ no puede ser una extensión de $\Bbb{H}$ .

Answer 2

Parece que la respuesta es moralmente "no". Ahora, hay un cierre formal para el que podemos resolver polinomios libres: Como en el caso de los campos, se toma un límite inductivo. Sea $\Bbb H=R$ sea nuestra álgebra de división normada. Entonces

$$\overline{R}=\varinjlim_{[L:R]<\infty} L$$

donde el sistema inductivo se toma en relación con las inclusiones de las extensiones del álgebra $L/R$ de dimensión finita sobre $R$ cada uno de ellos de la forma

$$L_p=R\{x\}/(p(x))$$

donde $p(x)$ es irreducible sobre $R$ y $R\{x\}$ son los polinomios generados libremente como en el caso ( $2$ ). Esto ciertamente tiene la propiedad requerida de que todos los polinomios en $R$ tienen una raíz en $\overline{R}$ y cualquier otro objeto de este tipo tiene una copia de este dentro de él por razones puramente formales.

Observo que el sistema dirigido así definido es, en efecto, un sistema dirigido -de hecho, un entramado-, así que esto debería pasar, a menos que me esté perdiendo algo obvio.

rschweib ha observado que el resultado ya no es un álgebra de división, por lo que esto no es realmente ideal, pero la propiedad de "cierre algebraico" se mantiene, y necesariamente es un anillo mínimo donde esta propiedad puede mantenerse, por lo que parece que esto es lo mejor que podemos esperar. Sin embargo también no puede forzar la algebraicidad del resultado ya que $R\{x\}/(xi+ix-j)$ no hace $x$ algebraico adecuadamente en el sentido de que se quiere imitar la excelente definición del caso de campo de que lo algebraico significa $F(\alpha)/F$ es de dimensión finita como un álgebra sobre $F$ que no se sostiene en este escenario.