Si sabemos que $I_{n}=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n(x)\,{\rm d}x$ necesitamos evaluar:
$\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right]^2\cdot\frac{1}{2n+1}$ ( !! significa doble factorial ).
Aquí está todos mis pasos para llegar a un teorema del sándwich:
$I_{_{n}}=\frac{n-1}{n}\cdot I_{n-2}$, $\forall x\geq 2$. Por lo tanto:
$I_{_{2k}}=\frac{\pi}{2}\cdot (\prod_{k=0}^{n}\frac{2k+1}{2k+2})=\frac{\pi}{2}\cdot(\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k})$
$I_{_{2k+1}}=\prod_{k=0}^{n}\frac{2k+2}{2k+3}=\prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1}$
$\Rightarrow I_{2k}\geq I_{2k+1}$ , $\forall x\in[0,\frac{\pi}{2}]$
$\Rightarrow \prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1}\leq\frac{\pi}{2}(\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k})\mid\cdot\prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k-1}$
$\Rightarrow \prod_{k=1}^{n}\frac{2k^2}{4k^2-1}\leq\frac{\pi}{2}$
No sé cómo puedo llegar a $\left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right]^2\cdot\frac{1}{2n+1}$ y después de utilizar el teorema del sándwich.
Es algo de lo $\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}=\prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k-1}$ ?
Quiero continuar con este método, si es algo que me puede ayudar para terminar voy a apreciar.
