¿Cómo puedo encontrar el residuo de la siguiente función en el punto de $z=0$
$$f(z)=\frac{\cot(z)\coth(z)}{z^3}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenga en cuenta que cada una de las $\cot{z}$ $\text{coth}{z}$ tiene una simple poste de $z=0$. Por lo tanto $z=0$ es un polo de orden $5$, y el residuo es igual a
$$\frac{1}{4!} \left [ \frac{d^4}{dz^4} \left ( z^2 \cot{(z)} \, \text{coth}(z) \right) \right ]_{z=0}$$
ANEXO
La expresión anterior, mientras correcta, no es muy práctico, sin acceso a un sistema de álgebra paquete de software. (Estoy seguro de que en los días de antaño, alguien tenía que trabajar en algo como esto por la mano. Pero...¿por qué?) Mejor trabajar directamente con las expansiones de Taylor de $z \cot{z}$, etc. acerca de $z=0$ directamente de la siguiente manera:
$$z \cot{z} = 1-\frac{z^2}{3} - \frac{z^4}{45}+ O\left (z^6\right)$$ $$z \coth{z} = 1+\frac{z^2}{3} - \frac{z^4}{45}+ O\left (z^6\right)$$
Así que queremos que el coeficiente de $1/z$ en el producto de los de arriba, divididos por $z^5$. Este coeficiente es sencilla como la suma de tres términos:
$$-\frac{1}{45} - \frac{1}{45} - \frac13 \cdot \frac13 = -\frac{7}{45}$$
Esto, por supuesto, está de acuerdo con el resultado de la toma de la 4ª derivada de arriba, pero es mucho más fácil de ver.
