Hay una buena obligado para $\int_{a}^{\infty} x p(x) dx \approx \mathbb{E}[X] \mathbb{P}(\{X > a\})$

Question

Hay una buena obligado para $\int 1_{\{ x > a \}} x p(x) dx \approx \mathbb{E}[X] \mathbb{P}(\{X > a\})$? Es decir, somd enlazado $d$ tal que $$ \left\lvert \int 1_{\{ x > a \}} x p(x) dx - \mathbb{E}[X] \mathbb{P}(\{X > a\}) \right\rvert <d $$

Aquí $x \in \mathbb{R}$ $a$ una constante. Aquí $1$ el (lógico) indicador de función y $p$ es un pdf.

Quiero $d$ a ser dependiente de $$ \mathbb{E}[X] \text{ y } \text{Var}(X) $$ de manera que uno o ambos de $|\mathbb{E}[X] - a| \to \infty$ $\text{Var}(X) \to 0$ trae $$ d(\mathbb{E}[X], \text{Var}(X)) \a 0. $$ Pero una condición suficiente para la por encima de la convergencia puede ser diferente.

Como para $a$, debe ser capaz de escribir $d=d(a)$ en una explícita formulación que contiene la variable $a$; es decir, $d(a) = F(a)$ para algunos la función $F$. Pero si tal formulación no es factible en todos, entonces nos acaba de dejar.

Answer 1

La desigualdad de Jensen se puede aplicar aquí. Primera tendremos que rewite el término que se desea estimar la

$$ \int_{a}^\infty xp(x)dx - \mathbb{E}(X)\mathbb{P}(X>a) = \int_{a}^\infty(x-\mathbb{E}(X))p(x)dx = \int_{a}^\infty(x-\mathbb{E}(X))d\mu(x) $$

Aquí supuse que $X$ es una variable continua. Si desea colocar esa suposición, puede utilizar funciones de los indicadores en lugar de integral límites. $\mu$ es la probabilidad de medir producido por $X$.

$$ \left(\int_{a}^\infty(x-\mathbb{E}(X))d\mu(x)\right)^2\leq \int_{a}^\infty(x-\mathbb{E}(X))^2d\mu(x) \leq \mathbb{V}(X) $$

Por lo tanto, la definición de $$ d:= \left(\int_{a}^\infty xp(x)dx - \mathbb{E}(X)\mathbb{P}(X>a)\right) $$ con respecto a $d = d(\mathbb{V}(X))$, podemos ver que $$ d \underset{\mathbb{V}(X) \to 0}{\xrightarrow{\hspace{1cm}}} 0. $$