$\sqrt[3]{7x+19}+\sqrt[3]{7x-19}=\sqrt[3]{2}$ Por métodos algebraicos de solución

Question

Estaba tratando de resolver esta ecuación sin usar cálculo. ¿Es posible resolverse por métodos algebraicos elementales?

$$\sqrt[3]{7x+19}+\sqrt[3]{7x-19}=\sqrt[3]{2}$$

Answer 1

Vamos $u=\sqrt[3]{q+\sqrt{p^{3}+q^{2}}}$, $v=\sqrt[3]{q-\sqrt{p^{3}+q^{2}}}$,

tenemos $y=u+v$ satisfacción $y^{3}+3py=2q \ldots \ldots (*)$.

Tomar $y=\sqrt[3]{2}$, $q=7x$ y $p^{3}+q^{2}=19^{2}$ o $p^{3}=19^{2}-(7x)^{2}$.

Sustituir en $(*)$,

\begin{align*} 2+3\sqrt[3]{19^{2}-(7x)^{2}} \times \sqrt[3]{2} &= 2(7x) \\ \sqrt[3]{19^{2}-(7x)^{2}} &= \frac{14x-2}{3\sqrt[3]{2}} \\ 19^{2}-(7x)^{2} &= \frac{(14x-2)^{3}}{54} \end{align*}

Por el factor teorema o fórmula de Cardano,

$\displaystyle x=\frac{7}{4}, \frac{-8\pm 3i\sqrt{15}}{7}$ sujeto a decisiones correctas cúbicos de raíces de la ecuación original.

P. S.: Puede reescribir como $\sqrt[3]{19+7x}-\sqrt[3]{19-7x}=\sqrt[3]{2}$ para una fácil comprobación de equipo.

Answer 2

¿alimentación $3$ obtenemos $$7x+19+3\sqrt[3]{7x+19}^2\sqrt[3]{7x-19}+3\sqrt{7x+19}(\sqrt[3]{7x-19})^2+7x-19=2$ $ y obtenemos $ de $$14x+3\sqrt[3]{7x+19}\sqrt[3]{7x-19}(\sqrt[3]{7x+19}+\sqrt[3]{7x-19})=2$ $$14x+3\sqrt[3]{7x+19}\sqrt[3]{7x-19}\sqrt[3]{2}=2$ $ puede proceder?