Lo que tengo aquí es una matriz de función $A(x,y)$, definido en $[0,1]\times [0,1]$, de tal manera que cada una de las $A(x,y)$ es un uno mismo-adjoint positiva semi-definida $n\times n$-matriz (posiblemente con entradas complejas). Por otra parte, $(x,y)\mapsto A(x,y)$ se supone debe ser continua en $\mathbb R^2$ y tiene rango constante, es decir, la multiplicidad del autovalor cero es constante y todos los demás valores propios de permanecer en un intervalo de $[a,b]$ donde $a > 0$. Entonces puedo encontrar continua de la matriz de funciones de $U$ $B$ tal que $$ A(x,y) = U(x,y)B(x,y)U(x,y)^*, $$ $U(x,y)$ es unitaria, y $B(x,y)$ es de bloque diagonal de la forma $$ B = \begin{pmatrix}0&0\\0&B_2\end{pmatrix}, $$ donde $B_2(x,y)$ es una matriz cuadrada función del tamaño igual al rango de $A(x,y)$?
Respuesta
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No, usted No puede (al menos en el caso de que la matriz de entradas para $A$ $U$ $B$ son reales).
Voy a construir para usted un ejemplo en donde la $n = 2$, es decir, para cada punto de $(x, y)$ del avión, voy a construir una $2 \times 2$ matriz con las propiedades adecuadas, y va a ser claro que $U$ $B$ no puede ser definido de forma continua.
En primer lugar, $A(0,0) = I_2$, la identidad. Para todos los demás $(x, y)$, $A(x, y)$ va a no ser el de la identidad, y tendrá un autovalor superior a $1$, y otro que está a menos de $1$ (de hecho, su producto será $1$) y será simétrico, por lo que sus dos autovectores serán ortogonales. Así, para especificar la matriz, yo solo necesito decirte (1) una unidad dominante autovector $v$, y (2) el autovalor $s$$v$. Porque, a continuación, $A(x, y)$ $$ A(x, y) = \pmatrix{v & v^\asesino} \pmatrix{s & 0 \\ 0 & 1/s} \pmatrix {v^t \ \ v^t)^\asesino} $$ donde si $v = \pmatrix{a \\ b}$,$v^\perp = \pmatrix{-b \\ a}$.
Vamos a empezar con el autovalor dominante. En la ubicación de $(x, y)$, que va a ser $$ s(x, y) = \frac{1 + 2(x^2 + y^2)}{1 + (x^2 + y^2)}. $$ Para $(x, y)$ cerca del origen, esto va a ser aproximadamente el$1$; $(x, y)$ distancia desde el origen, que va a ser aproximadamente el $2$.
Por último, tengo que decir $v(x, y)$. Debido a $(x, y)$ no es el origen [ya te dije que $A(0,0) = I_2$, ¿verdad?], Voy a decir que $x, y$ tiene coordenadas polares $(r, \theta)$ donde $0 \le \theta < 2 \pi$ Ahora voy a definir $$ v(x, y) = \pmatrix{\cos \frac{3 \theta}{2} \\ \sin \frac{3 \theta}{2} } $$
Esto es claramente una función continua de la $x, y$ distancia desde el origen, excepto a lo largo del eje real positivo. En el eje real positivo, $v$ señala a la derecha; sólo un poco por debajo del eje real positivo, $v$ puntos (casi exactamente) a la izquierda. A pesar de esto, como se puede ver en la fórmula que me dio para $A$ anterior, cambiar el signo de $v$ no influye $A$, por lo que este "signo de la discontinuidad" en $v$ lleva a un continuo definición de $A$.
Yo se lo dejo a usted para realmente comprobar que este es un caso problemático, pero mirando los valores de $U$ $B$ sobre el círculo unitario será de ayuda. $B$ -- la matriz diagonal de valores propios --- tiene que ser continua, y uno de los autovalores es $3/2$ y la otra es $2/3$, lo $B$ tiene que ser una constante de matriz. Vamos a poner el mayor autovalor de la $(1,1)$ ubicación.
A continuación, $U(x,y)$ - - - el ortogonal de la matriz de vectores propios, tiene una primera columna que tiene que ser una unidad autovector de a $3/2$. Para $(x, y) = (1,0)$, esto es $\pmatrix{1\\0}$ o $\pmatrix{-1\\0}$. Vamos a elegir la primera. A continuación, usar ese valor para determinar el valor en cerca de los puntos del círculo unitario (creo que "la continuación analítica", más o menos), obtenemos la primera columna de $U$ de inflexión $3/2$ de las veces que vaya alrededor del círculo unitario. Es evidente que esto no puede ser continua en el eje real positivo.
