Considerar un conjunto de funciones de $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ $f(0) = f(1) = 0$ que se supone que para aproximar la función de $\mathbf{0}:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$$\mathbf{0}(x) \equiv 0$. La gráfica de $\mathbf{0}(x)$ es para ser visto como la "curva de referencia".
Desde la gráfica de $\mathbf{0}$ es el más corto de la curva entre los puntos finales, parece natural decir que el $f$ aproxima $\mathbf{0}$ mejor que el $g$ cuando la longitud de arco (la gráfica de) $f$ es más corta que la de $g$, es decir,
$$\int_0^1\sqrt{1 + f'(x)^2}dx < \int_0^1\sqrt{1 + g'(x)^2}dx\quad\quad\quad (1_0)$$
Pero esto entra en conflicto con otra medida de proximidad: se puede decir $f$ aproxima $\mathbf{0}$ mejor que el $g$ cuando se desvía menos de $\mathbf{0}$ $g$ en el siguiente sentido
$$\int_0^1 |f(x) - \mathbf{0}(x)| dx < \int_0^1 |g(x) - \mathbf{0}(x)| dx\quad\quad\quad (2_0)$$
lo que significa que
$$\int_0^1 |f(x)| dx < \int_0^1 |g(x)| dx\quad\quad\quad (2_1)$$
que tiene – para los efectos de la comparación con $(1)$ – iff
$$\int_0^1\sqrt{1 + f(x)^2}dx < \int_0^1\sqrt{1 + g(x)^2}dx\quad\quad\quad (2_2)$$
El "conflicto" puede ser fácilmente visible:
La curva de color rojo $g$ tiene la misma longitud que el azul $f$ mientras que el área bajo $g$ es obviamente mayor que el área bajo $f$.
Hay otro – "intrínseca" de la propiedad de la curva azul $f$ que hace que sea una mejor aproximación de la curva de color rojo $g$ – e incluso sin una referencia explícita a $\mathbf{0}$: cambia su dirección "más a menudo". En la notación de la integral:
$$\int_0^1 |f''(x)| dx > \int_0^1 |g''(x)| dx\quad\quad\quad (3_0)$$
o lo que es equivalente:
$$\int_0^1\sqrt{1 + f''(x)^2}dx > \int_0^1\sqrt{1 + g''(x)^2}dx\quad\quad\quad (3_1)$$
En el que la "teoría" o marco de estos resultados encajan y cómo?
Y lo son, resp., los nombres oficiales de
$$\int |f(x)| dx $$
$$\int |f'(x)| dx $$
$$\int |f''(x)| dx $$
