Global extremos de $(x^2 + y^2)e^{-(x^2 + y^2)}$

Question

Podría alguien por favor revise mi solución para el siguiente problema?

Problema: Vamos A $f(x, y) = (x^2 + y^2)e^{-(x^2 + y^2)}$. Encontrar global extremos de $f$$M = {\mathbf R}^2$.

Propuesta de solución: Tomando derivadas parciales de $f$, llegamos a la conclusión de que los puntos críticos son $[0,0]$ y los puntos del círculo unitario $C = \{[x,y] \in {\mathbf R}^2:\ x^2 + y^2 = 1\big\}$.

Podemos deducir inmediatamente que el mínimo global se alcanza en $[0,0]$ como la función es no negativa. Se observa que el valor de $f$$C$$e^{-1}$.

Para demostrar que $f$ alcanza el máximo global en $C$, dejamos $r := x^2 + y^2$. Se observa que para cualquier par de puntos $[x_1,y_1]$ y $[x_2,y_2]$, $r_1 = r_2$ (es decir. la función es constante en los círculos). Ahora vamos a $r \to \infty$. Entonces $re^{-r} \to 0$. A partir de la definición de límite, se deduce que para cualquier $\varepsilon > 0$, nos encontramos con $\delta > 0$ tal que

$$\forall r \in P(\infty, \delta) = ({1 \over \delta}, \infty): re^{-r} < \varepsilon.$$

Deje $\varepsilon = (2e)^{-1}$. Luego hay $\delta$ a partir de la definición anterior y sabemos que para $r \in ({1 \over \delta}, \infty)$, el valor de f es menor que el valor de f en $C$. La restricción de nosotros mismos para el conjunto compacto

$$C' = \big\{[x, y] \in {\mathbf R}^2:\ x^2 + y^2 \le {1 \over \delta}\big\},$$

ahora podemos argumentar que $f$ $C'$ es de hecho maximizado en $C$, ya que es una función continua en un conjunto compacto, es un valor alrededor de la frontera es en la mayoría de las $(2e)^{-1}$ y todos los puntos críticos se han considerado.

Por lo tanto, el valor máximo de $f$ es alcanzado en $C$ con respecto al $M$.

Answer 1

Se ve bien. Tenga en cuenta que también se puede empezar por traducir el problema a un problema unidimensional dejando $g(r) := re^{-r}$ y la búsqueda de la global máximo y mínimo de $g$ $[0, \infty)$ y, a continuación, tenga en cuenta que $f(x,y) = g(x^2 + y^2)$ y la conclusión.

Answer 2

$$e^x\ge1+x \quad \forall x\in\mathbb{R}$$

(esto es bien conocido, se puede establecer todo tipo de formas. Tenga en cuenta que la igualdad tiene $\iff x=0$)

Tome $x=d-1$ ver

$$e^{d-1}\ge d\implies de^{-d}\le e^{-1}\implies(x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)}\le e^{-1}$$

Chase atrás el hecho de que la igualdad tiene al $x=0\iff d=1 \iff x^2+y^2=1$ a ver que este máximo se alcanza, y que sólo se obtiene en el círculo unidad.

Mínimo es trivial, por las razones que se detalle la función es no negativo, y $0$ sólo en el origen, por lo que el mínimo global es $0$ y alcanzó en $(0,0)$.

Answer 3

O usted podría señalar que la función es radial con valor de $f(x) = |x|^2 e^{-|x|^2}$. así que si tiene un máximo/mínimo en $x_0$, es sobre todo el círculo de radio de $|x_0|$.

Así que es suficiente para el estudio de la función de $h(t) = t^2 e^{-t^2}$.

Aquí sólo se puede diferenciar, $h'(t) = (2t - 2t^3) e^{-t^2}$, y esto es igual a $0$$t=\pm 1$, y es fácil comprobar que se trata de un máximo.

Por lo tanto $f$ es máxima en todos los $x$ tal que $|x| = 1$

Answer 4

Esto es correcto para mí, pero uno se puede tratar esto un poco más eficiente: Si $f$ logra un global de extremo a $(x, y)$, entonces el mapa de $g: [0, \infty) \to \Bbb R$ definido por $$g(r) := r^2 e^{-r^2}$$ achieves a global extremum at $\sqrt{x^2 + y^2}$ and vice versa. Since $g$ is differentiable, to determine the latter it's enough to find the value of $g$ at the solutions of $g'(x) = 0$ and the value $g(0)$ at the endpoint $x = 0$. As was observed in the question, we know that $g$ achieves a minimum at $x = 0$ because evaluating gives that $g(0) = 0$ and $g(r) \geq 0$ for all $r$ (as $g$ is a product of nonnegative functions), leaving us just to solve $g'(r) = 0$, evaluate $M_a := g(r_a)$ for each solution $r_a$, and determine the maximum of the values $M_a$.