Dejemos que $p$ sea un número primo. Encuentra todos los $p$ de tal manera que $p^4 + p^3 + p^2 + p +1$ es un cuadrado perfecto.
He intentado reescribir la expresión como $p^4 + p^3 + p^2 + p +1 = x^2 \iff (p^2 + p)(p^2 + 1)=(x - 1)(x + 1)$ . Entonces creo que tengo que limitar esto usando $x$ pero no estoy seguro de cómo hacerlo.
Tenga en cuenta que $p^2=q^4+q^3+q^2+q+1$ tiene soluciones sólo para $p=11$ y $q=3$ .
En efecto, podemos escribir $$\left(q^2+\frac{q}{2}\right)^2={q^4+q^3}+\frac{q^2}{4}<{q^4+q^3}+q^2+q+1 \\ \frac{q^2}{4}<q^2+q+1 $$ y por otro lado $$ \left(q^2+\frac{q+2}{2}\right)^2=q^4+q^3+2q^2+\frac{q^2+4q+4}{4}>q^4+q^3+q^2+q+1 \\ {q^4+q^3}+\frac{9}{4}q^2{+q+1}>{q^4+q^3}+q^2{+q+1} \\ \frac{9}{4}q^2>q^2.$$ Desde aquí, $q$ no puede ser uniforme, y para algunos impar $q$ debemos tener $$\left(q^2+\frac{q+1}{2}\right)^2={q^4+q^3+q^2}+\frac{q^2+2q+1}{4}={q^4+q^3+q^2}+q+1 \\ q^2+2q+1=4q+4 \\ q^2-2q-3=(q-3)(q+1)=0,$$ desde aquí $q=3$ . En particular, $$3^4+3^3+3^2+3+1=11^2$$ por lo que las únicas soluciones son $p=11$ , $q=3$
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Creo que he visto esta pregunta antes, ¿es de algún concurso? En cualquier caso, fíjate que $x$ tiene que ser impar, por lo que se puede escribir como $2x'+1$ . Además, creo que puede ser útil mirar los posibles valores de $p$ y/o $x$ modulo $4$ o $5$ .
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math.stackexchange.com/questions/372367/
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Esta pregunta está relacionada con la de Byron, y parece abordar el mismo problema: math.stackexchange.com/questions/1270599/
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de la pregunta Enlaces de Byron, $$ (2x^2 + x)^2 < 4(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) < (2x^2 + x + 1)^2 $$ para $x$ más grande que algo explícito.
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sí, ambas desigualdades estrictas para $x > 3.$ El lado derecho menos el término medio es $x^2 - 2x-3,$ raíces $-1$ y $3.$